第10节 指数、对数均值不等式（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第10节 指数、对数均值不等式
知识拓展
对数与指数均值不等式
结论1 对任意的a，b＞0(a≠b)，有＜＜.
证明 不妨设a＞b＞0(0＜a＜b时同理可得)
首先，由＜等价于lna－lnb＜，即ln＜.
令x＝＞1，只要证lnx2＜，
即证2xlnx－x2＋1＜0.
令f(x)＝2xlnx－x2＋1(x＞1)，
则f′(x)＝2lnx＋2－2x，f″(x)＝－2＜0，f′(x)在(1，＋∞)单调递减，f′(x)＜f′(1)＝0，
f(x)在(1，＋∞)单调递减，即f(x)＜f(1)＝0.
故＜.
其次，＜等价于
lna－lnb＞，即ln＞.
令x＝＞1，只要证lnx＞，
即证(x＋1)lnx－2x＋2＞0.
设g(x)＝(x＋1)lnx－2x＋2(x＞1)，
同理可证g(x)在(1，＋∞)单调递增，
有g(x)＞g(1)＝0.
故＜.
需注意的是，在实际解题过程中，凡涉及这两个不等式的都需给出证明，以确保考试不被扣分.
结论2 对任意实数m，n(m≠n)，有e＜＜.
证明 在对数均值不等式中，令a＝em，b＝en，则lna＝m，lnb＝n，从而可得指数均值不等式.
题型一 对数均值不等式的应用
例1(2025·杭州质检改编)已知a∈R，f(x)＝＋lnx，若f(x1)＝f(x2)＝2(x1≠x2)，求证：＋>.
思维建模1.利用对数均值不等式证明不等式的关键是配凑出其形式.
2.在解答题时要注意先证明对数均值不等式，然后再应用.
训练1(2025·昆明三校一检)已知函数f(x)＝.
(1)讨论f(x)的极值；
(2)若(ex1)x2＝(ex2)x1(e是自然对数的底数)，且x1>0，x2>0，x1≠x2，证明：x1＋x2>2.
题型二 指数均值不等式的应用
例2(2025·济南模拟节选)已知函数f(x)＝ex－ax(a>1)有两个不同的零点x1，x2，x12.
思维建模当出现指数和、指数差时，考虑利用指数均值不等式进行放缩，进而得到所求不等式的范围.
训练2已知a∈R，函数f(x)＝2ln(x－2)＋a(x－2)2，若函数f(x)的两个相异零点x1，x2，求证：x1x2＋4>2(x1＋x2)＋e.
知识拓展
对数与指数均值不等式
结论1 对任意的a，b＞0(a≠b)，有＜＜.
证明 不妨设a＞b＞0(0＜a＜b时同理可得)
首先，由＜等价于lna－lnb＜，即ln＜.
令x＝＞1，只要证lnx2＜，
即证2xlnx－x2＋1＜0.
令f(x)＝2xlnx－x2＋1(x＞1)，
则f′(x)＝2lnx＋2－2x，f″(x)＝－2＜0，f′(x)在(1，＋∞)单调递减，f′(x)＜f′(1)＝0，
f(x)在(1，＋∞)单调递减，即f(x)＜f(1)＝0.
故＜.
其次，＜等价于
lna－lnb＞，即ln＞.
令x＝＞1，只要证lnx＞，
即证(x＋1)lnx－2x＋2＞0.
设g(x)＝(x＋1)lnx－2x＋2(x＞1)，
同理可证g(x)在(1，＋∞)单调递增，
有g(x)＞g(1)＝0.
故＜.
需注意的是，在实际解题过程中，凡涉及这两个不等式的都需给出证明，以确保考试不被扣分.
结论2 对任意实数m，n(m≠n)，有e＜＜.
证明 在对数均值不等式中，令a＝em，b＝en，则lna＝m，lnb＝n，从而可得指数均值不等式.
题型一 对数均值不等式的应用
例1(2025·杭州质检改编)已知a∈R，f(x)＝＋lnx，若f(x1)＝f(x2)＝2(x1≠x2)，求证：＋>.
思维建模1.利用对数均值不等式证明不等式的关键是配凑出其形式.
2.在解答题时要注意先证明对数均值不等式，然后再应用.
训练1(2025·昆明三校一检)已知函数f(x)＝.
(1)讨论f(x)的极值；
(2)若(ex1)x2＝(ex2)x1(e是自然对数的底数)，且x1>0，x2>0，x1≠x2，证明：x1＋x2>2.
题型二 指数均值不等式的应用
例2(2025·济南模拟节选)已知函数f(x)＝ex－ax(a>1)有两个不同的零点x1，x2，x12.
思维建模当出现指数和、指数差时，考虑利用指数均值不等式进行放缩，进而得到所求不等式的范围.
训练2已知a∈R，函数f(x)＝2ln(x－2)＋a(x－2)2，若函数f(x)的两个相异零点x1，x2，求证：x1x2＋4>2(x1＋x2)＋e.
