第10节 概率与函数、数列

题型分析 近几年高考重视在知识交汇处命题，通过综合运用函数、数列等知识解决概率统计实际问题，突出知识间的综合应用.解决概率统计与函数的交汇问题的关键在于利用函数的单调性确定最优解；解决概率与数列的交汇问题的关键在于找出概率pn或均值E(Xn)的递推公式，利用数列的性质、求和公式等解决问题，该问题的实质仍是以概率统计为主导.

题型一 概率与函数

例1(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：





利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；

(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c).当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]上的最小值.



















思维建模概率与函数交汇问题的解题步骤

第一步：通读题目，仔细审题，理解题意；

第二步：根据题目所要解决的问题，确定自变量及其取值范围；

第三步：构建函数模型，写出函数的解析式；

第四步：通过函数的单调性(有时借助导数)等求函数最值达到解决问题的目的.

训练1(2025·太原调研)甲、乙两人参加一个比赛，该比赛设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每场比赛乙赢的概率为p(00，m∈N*)处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，p0＝0，pm＝1.随机游走模型是一个典型的马尔可夫过程.

进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a；原地不动，其概率为b；向右平移一个单位，其概率为c，那么根据全概率公式可得pi＝api＋1＋bpi＋cpi－1.

典例(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(Xi)＝qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y).