第10节 解三角形的综合应用（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第10节 解三角形的综合应用
题型分析 高考中解三角形的综合应用问题主要涉及的题型有：(1)利用正弦定理、余弦定理求解平面多边形中的边、角、面积问题.(2)结合基本不等式、三角形恒等变换求解三角形中的最值(范围)问题.(3)利用正弦、余弦定理和三角恒等变换证明三角形中的恒等式.
题型一 多边形中的解三角形问题
例1如图所示，四边形ABCD为圆O的内接四边形，其中AB＝，BC＝3，CD＝2，DA＝1.
(1)求sinD的值；
(2)求四边形ABCD的面积及圆O的半径.
思维建模平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
训练1如图，在平面四边形ABCD中，BC＝，BE⊥AC于点E，BE＝，且△ACD的面积为△ABC面积的2倍.
(1)求AD·sin∠DAC的值；
(2)当CD＝3时，求线段DE的长.
题型二 三角形中的最值(范围)问题
例2(2025·长沙联考)如图，在△ABC中，有－sinB＝0.
(1)求∠B的大小；
(2)直线BC绕点C顺时针旋转与AB的延长线交于点D，若△ABC为锐角三角形，AB＝2，求CD长度的取值范围.
思维建模三角形中的最值、范围问题的解题策略
(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.
(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.
(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.
训练2已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(1＋cosB)＝bsinA.
(1)求B；
(2)若b＝6，求△ABC面积的最大值.
题型三 三角形中的证明问题
例3(2022·全国乙卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).
(1)若A＝2B，求C；
(2)证明：2a2＝b2＋c2.
思维建模对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.
训练3(2025·合肥质检)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.
(1)请用正弦定理证明：若a>b，则A>B；
(2)请用余弦定理证明：若A>B，则a>b.
题型分析 高考中解三角形的综合应用问题主要涉及的题型有：(1)利用正弦定理、余弦定理求解平面多边形中的边、角、面积问题.(2)结合基本不等式、三角形恒等变换求解三角形中的最值(范围)问题.(3)利用正弦、余弦定理和三角恒等变换证明三角形中的恒等式.
题型一 多边形中的解三角形问题
例1如图所示，四边形ABCD为圆O的内接四边形，其中AB＝，BC＝3，CD＝2，DA＝1.
(1)求sinD的值；
(2)求四边形ABCD的面积及圆O的半径.
思维建模平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
训练1如图，在平面四边形ABCD中，BC＝，BE⊥AC于点E，BE＝，且△ACD的面积为△ABC面积的2倍.
(1)求AD·sin∠DAC的值；
(2)当CD＝3时，求线段DE的长.
题型二 三角形中的最值(范围)问题
例2(2025·长沙联考)如图，在△ABC中，有－sinB＝0.
(1)求∠B的大小；
(2)直线BC绕点C顺时针旋转与AB的延长线交于点D，若△ABC为锐角三角形，AB＝2，求CD长度的取值范围.
思维建模三角形中的最值、范围问题的解题策略
(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.
(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.
(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.
训练2已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(1＋cosB)＝bsinA.
(1)求B；
(2)若b＝6，求△ABC面积的最大值.
题型三 三角形中的证明问题
例3(2022·全国乙卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).
(1)若A＝2B，求C；
(2)证明：2a2＝b2＋c2.
思维建模对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.
训练3(2025·合肥质检)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.
(1)请用正弦定理证明：若a>b，则A>B；
(2)请用余弦定理证明：若A>B，则a>b.
