第11节 三角函数模型及解三角形的实际应用（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第11节 三角函数模型及解三角形的
实际应用
课标要求1.会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
【知识梳理】
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线________叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
[常用结论与微点提醒]
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.()
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是用来确定观察点与目标点之间的位置关系.()
2.(人教A必修二P51T3改编)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B()
A.北偏东10°方向B.北偏西10°方向
C.南偏东80°方向D.南偏西80°方向
3.(人教A必修二P49例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()
A.(30＋30)mB.(15＋30)m
C.(30＋15)mD.(15＋15)m
4.(苏教必修二P108T10改编)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km.
考点一三角函数模型
例1(多选)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则()
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4cos＋2
思维建模三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
训练1(多选)(2024·河南名校调研)钱塘江出现过罕见潮景“鱼鳞潮”.“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，而破碎的涌潮的图象近似f′(x)的图象.已知当x＝2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则以下四种说法正确的是()
A.ω＝2
B.f＝＋
C.f′是偶函数
D.f′(x)在区间上单调
考点二 解三角形应用举例
角度1 测量距离问题
例2(2025·临沂模拟)在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向北偏西－θ方向发射炮弹，B向北偏东－θ的方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向向北偏西－方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为()
A.7公里B.8公里
C.9公里D.10公里
角度2 测量高度问题
例3(2025·上饶调研)矗立在上饶市市民公园(如图1)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方.如图2，某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为，，，且AB＝BC＝20m，则四门通天的高度为()
A.15mB.10m
C.6mD.5m
角度3 测量角度问题
例4已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
思维建模解三角形应用问题的要点
(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素.
(2)利用正弦定理、余弦定理解三角形，得到实际问题的解.
训练2(1)为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则基站A，B的距离为()
A.10kmB.30(－1)km
C.30(－1)kmD.10km
(2)(2025·岳阳质检)岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山.因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉.小明为了测量岳阳楼的高度AB，他首先在C处，测得楼顶A的仰角为60°，然后沿BC方向行走22.5米至D处，又测得楼顶A的仰角为30°，则楼高AB为________米.
实际应用
课标要求1.会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
【知识梳理】
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线________叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
[常用结论与微点提醒]
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.()
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是用来确定观察点与目标点之间的位置关系.()
2.(人教A必修二P51T3改编)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B()
A.北偏东10°方向B.北偏西10°方向
C.南偏东80°方向D.南偏西80°方向
3.(人教A必修二P49例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()
A.(30＋30)mB.(15＋30)m
C.(30＋15)mD.(15＋15)m
4.(苏教必修二P108T10改编)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km.
考点一三角函数模型
例1(多选)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则()
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4cos＋2
思维建模三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
训练1(多选)(2024·河南名校调研)钱塘江出现过罕见潮景“鱼鳞潮”.“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，而破碎的涌潮的图象近似f′(x)的图象.已知当x＝2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则以下四种说法正确的是()
A.ω＝2
B.f＝＋
C.f′是偶函数
D.f′(x)在区间上单调
考点二 解三角形应用举例
角度1 测量距离问题
例2(2025·临沂模拟)在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向北偏西－θ方向发射炮弹，B向北偏东－θ的方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向向北偏西－方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为()
A.7公里B.8公里
C.9公里D.10公里
角度2 测量高度问题
例3(2025·上饶调研)矗立在上饶市市民公园(如图1)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方.如图2，某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为，，，且AB＝BC＝20m，则四门通天的高度为()
A.15mB.10m
C.6mD.5m
角度3 测量角度问题
例4已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
思维建模解三角形应用问题的要点
(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素.
(2)利用正弦定理、余弦定理解三角形，得到实际问题的解.
训练2(1)为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则基站A，B的距离为()
A.10kmB.30(－1)km
C.30(－1)kmD.10km
(2)(2025·岳阳质检)岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山.因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉.小明为了测量岳阳楼的高度AB，他首先在C处，测得楼顶A的仰角为60°，然后沿BC方向行走22.5米至D处，又测得楼顶A的仰角为30°，则楼高AB为________米.
