第11节 函数模型及其应用

课标要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.



【知识梳理】

1.指数、对数、幂函数模型性质比较



函数

性质

y＝ax(a>1)

y＝logax(a>1)

y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的增减性

单调______

单调______

单调______

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x的增大逐渐表现为与____平行

随x的增大逐渐表现为与____平行

随n值变化而

各有不同

值的比较

存在一个x0，当x>x0时，有logax0且a≠1，b≠0)

与对数函数相关的模型

f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)

与幂函数相关的模型

f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)



[常用结论与微点提醒]

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()

(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()

(3)不存在x0，使ax01)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.()

2.(人教A必修一P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()



A.40万元B.60万元

C.80万元D.120万元

3.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)()

A.1.5B.1.2

C.0.8D.0.6

4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________.





考点一 利用函数图象刻画实际问题的变化过程

例1(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：



根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中正确的是()

A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用

B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒

C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用

D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒













思维建模判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

训练1已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()











考点二 已知函数模型解决实际问题

例2(1)(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则()

A.3N2＝2N1B.2N2＝3N1

C.N＝ND.N＝N

(2)(2025·福州调研)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0D，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减到0.45，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg2≈0.3010，

lg3≈0.4771)()

A.11B.44

C.227D.481









思维建模1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

训练2(1)(2025·南京、盐城模拟)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T＝·a，其中M为太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的...