第11节 圆锥曲线中的轨迹问题（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第11节 圆锥曲线中的轨迹问题
知识拓展
1.曲线C与方程F(x，y)＝0满足两个条件：(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程.
2.求曲线方程的基本方法主要有：
(1)定义法：若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，于是就确定了曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求解的方法称为定义法.
(2)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，直接将条件翻译成等式，整理化简后即得到动点的轨迹方程.
(3)相切点法(代入法)：如果动点满足的限制条件不容易直接列出等式，但是动点随着另一相关点的运动而运动，这时可用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程的方法称为相关点法.
(4)参数法：如果动点本身所满足的条件式中含有一个参数，或在运动过程中受到某个变量的制约，那么以此变量为参数，建立轨迹的参数方程，再设法消去参数，即可得到轨迹的方程，这种方法称为参数法.
(5)变轨法：如果动点是两条曲线的交点，则其坐标同时满足两条曲线方程，那么消去辅助量即可求得动点的轨迹，这种方法称为交轨法.
题型一 定义法
例1若动圆与两定圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝49都外切，则动圆圆心的轨迹方程是____________.
思维建模利用定义法求轨迹方程时，要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.
训练1(2025·佛山质检)若点P(x，y)满足方程＝，则点P的轨迹是()
A.圆B.椭圆
C.双曲线D.抛物线
题型二 直接法
例2(2025·南宁模拟)已知点A(－2，0)，B(2，0)，直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，若k2－k1＝1，则点P的轨迹为不包含A，B两点的()
A.直线B.椭圆
C.双曲线D.抛物线
思维建模直接法求轨迹方程时，最关键的就是把几何条件或等量关系翻译成代数方程，再建系、设点、列式、代换、化简、证明.最后的证明这一步骤可以省略，求出轨迹的方程后还需注意检验方程的“纯粹性”和“完备性”.
训练2已知M(－2，0)，N(2，0)，点P满足·＝12，则点P的轨迹方程为()
A.＋y2＝1B.x2＋y2＝16
C.y2－x2＝8D.x2＋y2＝8
题型三 相关点法(代入法)
1.教材母题(人教A选修一P108例2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
2.教材母题(苏教选修一P84例3)将圆x2＋y2＝4上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.
例3(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为()
A.＋＝1(y>0)B.＋＝1(y>0)
C.＋＝1(y>0)D.＋＝1(y>0)
思维建模利用相关点法求轨迹方程的基本步骤：
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0).
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.
训练3(2025·内江模拟)已知面积为16的正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，＝＋，则动点P的轨迹方程是()
A.＋＝1B.＋＝1
C.＋＝1D.＋＝1
题型四 参数法
例4(2025·兰州模拟)变量x，y满足(t为参数)，则代数式的取值范围是________.
思维建模1.参数法求动点轨迹方程的一般步骤
(1)选择坐标系，设动点坐标P(x，y)；
(2)分析轨迹的已知条件，选定参数(选择参数时要考虑既要有利于建立方程又要便于消去参数)；
(3)建立参数方程；
(4)消去参数得到普通方程；
(5)讨论并判断轨迹.
2.常用的消参方法有：代入消参，加减消参，整体代换法，三角消参法(sin2θ＋cos2θ＝1)等，要特别注意：消参前后变量x，y的取值范围不能改变.
训练4已知曲线C满足(θ为参数)，P为C上一点，A(0，)，则P与A的最小距离为________.
题型五 交轨法
例5如图，已知椭圆C：＋＝1的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与点B1，点B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2，求动点N的轨迹方程.
思维建模1.求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法.
2.运用交轨法探求轨迹方程问题，主要是把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程；如果动点(x0，y0)影响动点P(x，y)的轨迹，那么就选取动点(x0，y0)为参数.如果动直线的斜率k影响动点P(x，y)的轨迹，那么就选取动直线的斜率k为参数.如果动直线在y轴上的截矩b影响动点P(x，y)的轨迹，那么就选取动直线在y轴上的截距b为参数.如果动直线的倾斜角α影响动点P(x，y)轨迹，那么就选取动直线的倾斜角α为参数.
训练5如图，椭圆C0：＋＝1(a>b>0)，动圆C1：x2＋y2＝t，b
知识拓展
1.曲线C与方程F(x，y)＝0满足两个条件：(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程.
2.求曲线方程的基本方法主要有：
(1)定义法：若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，于是就确定了曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求解的方法称为定义法.
(2)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，直接将条件翻译成等式，整理化简后即得到动点的轨迹方程.
(3)相切点法(代入法)：如果动点满足的限制条件不容易直接列出等式，但是动点随着另一相关点的运动而运动，这时可用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程的方法称为相关点法.
(4)参数法：如果动点本身所满足的条件式中含有一个参数，或在运动过程中受到某个变量的制约，那么以此变量为参数，建立轨迹的参数方程，再设法消去参数，即可得到轨迹的方程，这种方法称为参数法.
(5)变轨法：如果动点是两条曲线的交点，则其坐标同时满足两条曲线方程，那么消去辅助量即可求得动点的轨迹，这种方法称为交轨法.
题型一 定义法
例1若动圆与两定圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝49都外切，则动圆圆心的轨迹方程是____________.
思维建模利用定义法求轨迹方程时，要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.
训练1(2025·佛山质检)若点P(x，y)满足方程＝，则点P的轨迹是()
A.圆B.椭圆
C.双曲线D.抛物线
题型二 直接法
例2(2025·南宁模拟)已知点A(－2，0)，B(2，0)，直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，若k2－k1＝1，则点P的轨迹为不包含A，B两点的()
A.直线B.椭圆
C.双曲线D.抛物线
思维建模直接法求轨迹方程时，最关键的就是把几何条件或等量关系翻译成代数方程，再建系、设点、列式、代换、化简、证明.最后的证明这一步骤可以省略，求出轨迹的方程后还需注意检验方程的“纯粹性”和“完备性”.
训练2已知M(－2，0)，N(2，0)，点P满足·＝12，则点P的轨迹方程为()
A.＋y2＝1B.x2＋y2＝16
C.y2－x2＝8D.x2＋y2＝8
题型三 相关点法(代入法)
1.教材母题(人教A选修一P108例2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
2.教材母题(苏教选修一P84例3)将圆x2＋y2＝4上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.
例3(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为()
A.＋＝1(y>0)B.＋＝1(y>0)
C.＋＝1(y>0)D.＋＝1(y>0)
思维建模利用相关点法求轨迹方程的基本步骤：
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0).
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.
训练3(2025·内江模拟)已知面积为16的正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，＝＋，则动点P的轨迹方程是()
A.＋＝1B.＋＝1
C.＋＝1D.＋＝1
题型四 参数法
例4(2025·兰州模拟)变量x，y满足(t为参数)，则代数式的取值范围是________.
思维建模1.参数法求动点轨迹方程的一般步骤
(1)选择坐标系，设动点坐标P(x，y)；
(2)分析轨迹的已知条件，选定参数(选择参数时要考虑既要有利于建立方程又要便于消去参数)；
(3)建立参数方程；
(4)消去参数得到普通方程；
(5)讨论并判断轨迹.
2.常用的消参方法有：代入消参，加减消参，整体代换法，三角消参法(sin2θ＋cos2θ＝1)等，要特别注意：消参前后变量x，y的取值范围不能改变.
训练4已知曲线C满足(θ为参数)，P为C上一点，A(0，)，则P与A的最小距离为________.
题型五 交轨法
例5如图，已知椭圆C：＋＝1的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与点B1，点B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2，求动点N的轨迹方程.
思维建模1.求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法.
2.运用交轨法探求轨迹方程问题，主要是把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程；如果动点(x0，y0)影响动点P(x，y)的轨迹，那么就选取动点(x0，y0)为参数.如果动直线的斜率k影响动点P(x，y)的轨迹，那么就选取动直线的斜率k为参数.如果动直线在y轴上的截矩b影响动点P(x，y)的轨迹，那么就选取动直线在y轴上的截距b为参数.如果动直线的倾斜角α影响动点P(x，y)轨迹，那么就选取动直线的倾斜角α为参数.
训练5如图，椭圆C0：＋＝1(a>b>0)，动圆C1：x2＋y2＝t，b