第11节 指对同构

知识拓展

在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数或证明不等式，部分试题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的是同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法，其实质还是指数、对数恒等式的变换.

(1)五个常见变形：

xex＝ex＋lnx，＝ex－lnx，＝elnx－x，x＋lnx＝ln(xex)，x－lnx＝ln.

(2)三种基本模式

①积型：aea≤blnb



②商型：＜



③和差型：ea±a＞b±lnb





题型一 积型

例1若对任意x>0，恒有a(eax＋1)≥2lnx，则实数a的最小值为________.









思维建模解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，将不等式变形为f[g(x)]>f[h(x)]的结构，f(x)即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：xex＝ex＋lnx，＝ex－lnx，＝elnx－x，x＋lnx＝ln(xex)，x－lnx＝ln.

训练1(2025·哈尔滨模拟)设实数m>0，若对任意的正实数x，不等式emx≥恒成立，则m的最小值为()

A.B.

C.D.











题型二商型

例2已知函数f(x)＝aexlnx，g(x)＝x2＋xlna，a>0.设函数h(x)＝g(x)－f(x)，若h(x)>0对任意的x∈(0，1)恒成立，则实数a的取值范围是________.











思维建模商型≤同构，三种同构途径：

(1)同左：≤，构造函数f(x)＝；

(2)同右：≤，构造函数f(x)＝；

(3)取对数：lna－a≤ln(lnb)－lnb，构造函数f(x)＝lnx－x.

训练2已知函数f(x)＝，若不等式f(x)≥对x∈(0，e]恒成立，求a的取值范围.

















题型三 和差型

例3对于任意的x>0，ex≥(a－1)x＋ln(ax)恒成立，则a的最大值是________.



















思维建模和差型ea±a≤b±lnb同构，两种同构途径：

(1)同左：ea±a≤elnb±lnb，构造函数f(x)＝ex±x；

(2)同右：ea±lnea≤b±lnb，构造函数f(x)＝x±lnx.

训练3若关于x的不等式ex－a≥lnx＋a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是()

A.B.(－∞，e]

C.(－∞，1]D.(－∞，2]