第12节 函数与导数中的融合创新问题（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第12节 函数与导数中的融合创新问题
题型分析 高考中函数与导数的新定义压轴题主要涉及以下几个方面：1.定义新函数.2.定义函数的相关点、直线.3.与帕德逼近、洛必达法则、泰勒公式、柯西中值定理(含罗尔中值定理)、微积分、微分几何等高等数学知识相关联.
题型一 定义新函数
例1(2025·浙江名校协作体联考)定义max{a，b}＝已知函数f(x)＝max{lnx，－4x3＋mx－1}，其中x∈R.
(1)当m＝5时，求过原点的切线方程；
(2)若函数f(x)只有一个零点，求实数m的取值范围.
训练1(2025·广州调研)已知函数y＝f(x)，x∈D，如果存在常数M，对任意满足x1－1.
训练3(2025·武汉模拟)我们知道，通过牛顿－莱布尼茨公式可以求曲线梯形(如图1所示的阴影部分)的面积A＝其中f(x)dx＝F(b)－F(a)，F′(x)＝f(x).如果平面图形由两条曲线围成(如图2所示的阴影部分)，曲线C1可以表示为y＝f1(x)，曲线C2可以表示为y＝f2(x)，那么阴影区域的面积A＝(f2(x)－f1(x))dx，其中(f2(x)－f1(x))dx＝f2(x)dx－f1(x)dx.
(1)如图3，连续函数y＝f(x)在区间[－3，－2]与[2，3]的图形分别为直径为1的上、下半圆，在区间[－2，0]与[0，2]的图形分别为直径为2的下、上半圆，设F(x)＝f(t)dt，求F(2)－F(3)的值；
图3
(2)在曲线f(x)＝x2(x≥0)上某一个点处作切线，使之与曲线和x轴所围成的面积为，求切线方程；
(3)正项数列{bn}是公差为d(d为常数，d>0)的等差数列，b1＝1，两条抛物线y＝bnx2＋，y＝bn＋1x2＋(n∈N*)，记它们交点的横坐标的绝对值为an，两条抛物线围成的封闭图形的面积为Sn，求证：＋＋…＋<.
题型分析 高考中函数与导数的新定义压轴题主要涉及以下几个方面：1.定义新函数.2.定义函数的相关点、直线.3.与帕德逼近、洛必达法则、泰勒公式、柯西中值定理(含罗尔中值定理)、微积分、微分几何等高等数学知识相关联.
题型一 定义新函数
例1(2025·浙江名校协作体联考)定义max{a，b}＝已知函数f(x)＝max{lnx，－4x3＋mx－1}，其中x∈R.
(1)当m＝5时，求过原点的切线方程；
(2)若函数f(x)只有一个零点，求实数m的取值范围.
训练1(2025·广州调研)已知函数y＝f(x)，x∈D，如果存在常数M，对任意满足x1－1.
训练3(2025·武汉模拟)我们知道，通过牛顿－莱布尼茨公式可以求曲线梯形(如图1所示的阴影部分)的面积A＝其中f(x)dx＝F(b)－F(a)，F′(x)＝f(x).如果平面图形由两条曲线围成(如图2所示的阴影部分)，曲线C1可以表示为y＝f1(x)，曲线C2可以表示为y＝f2(x)，那么阴影区域的面积A＝(f2(x)－f1(x))dx，其中(f2(x)－f1(x))dx＝f2(x)dx－f1(x)dx.
(1)如图3，连续函数y＝f(x)在区间[－3，－2]与[2，3]的图形分别为直径为1的上、下半圆，在区间[－2，0]与[0，2]的图形分别为直径为2的下、上半圆，设F(x)＝f(t)dt，求F(2)－F(3)的值；
图3
(2)在曲线f(x)＝x2(x≥0)上某一个点处作切线，使之与曲线和x轴所围成的面积为，求切线方程；
(3)正项数列{bn}是公差为d(d为常数，d>0)的等差数列，b1＝1，两条抛物线y＝bnx2＋，y＝bn＋1x2＋(n∈N*)，记它们交点的横坐标的绝对值为an，两条抛物线围成的封闭图形的面积为Sn，求证：＋＋…＋<.
