第12节 定点、定线问题（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第12节 定点、定线问题
题型分析 解析几何中的定点、定线问题是高考考查的热点，难度较大，是高考的压轴题，定点问题的类型一般为直线过定点与圆过定点等；定线问题的类型一般是证明或探究动点在直线上.
题型一 定点问题
角度1 直线过定点
例1(2025·郑州质检节选)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，1)，且焦距为2.
(1)求椭圆E的标准方程.
(2)过点S(1，0)作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.证明：直线MN必过定点.
角度2 其它曲线过定点
例2(2025·河北名校调研节选)已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线l交椭圆C于A，B两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由.
思维建模圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.或以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.
(2)特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在.
训练1(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A(－2，0)在C上.
(1)求C的方程；
(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
题型二 定线问题
例3(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上.
思维建模1.动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程.
2.待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求解出系数.
3.面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜再证”.
训练2(2025·北京西城区模拟节选)已知抛物线C：x2＝y，过点E(0，2)作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P.证明：点P在定直线上.
题型分析 解析几何中的定点、定线问题是高考考查的热点，难度较大，是高考的压轴题，定点问题的类型一般为直线过定点与圆过定点等；定线问题的类型一般是证明或探究动点在直线上.
题型一 定点问题
角度1 直线过定点
例1(2025·郑州质检节选)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，1)，且焦距为2.
(1)求椭圆E的标准方程.
(2)过点S(1，0)作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.证明：直线MN必过定点.
角度2 其它曲线过定点
例2(2025·河北名校调研节选)已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线l交椭圆C于A，B两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由.
思维建模圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.或以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.
(2)特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在.
训练1(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A(－2，0)在C上.
(1)求C的方程；
(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
题型二 定线问题
例3(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上.
思维建模1.动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程.
2.待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求解出系数.
3.面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜再证”.
训练2(2025·北京西城区模拟节选)已知抛物线C：x2＝y，过点E(0，2)作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P.证明：点P在定直线上.
