第13节 定值问题（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第13节 定值问题
题型分析 在解析几何题目中，有些几何量与参数无关，这类问题被称为定值问题.定值问题是高考的热点问题、难度较大，一般作为压轴题出现.
题型一 长度或距离为定值
例1(2025·长沙测试)已知M，N分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，F为其右焦点，|FM|＝3|FN|，且点P在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明：＋为定值.
思维建模探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.
训练1(2025·东北三省四市模拟)在平面直角坐标系中，F1，F2分别为双曲线C：3x2－y2＝a2(a>0)的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点.当l与x轴垂直时，△ABF1的面积为12.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当l与x轴不垂直时，作线段AB的垂直平分线，交x轴于点D.试判断是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
题型二 斜率或代数式为定值
例2(2025·合肥质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，左顶点为A，短轴长为2，且经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l(不与x轴重合)与C交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4的交点分别为M，N，记直线MF，NF的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为
定值.
思维建模1.求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值.
2.在证明一条直线斜率或两条直线斜率和，差或者积与商为定值的问题中，我们需要先将斜率表示出来，然后利用相关量之间的关系式化简即可.
训练2已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若|F1F2|＝2，△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设＝λ，＝μ，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值；否则，说明理由.
题型三 几何图形的面积为定值
例3(2025·太原模拟节选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点，且离心率e＝，点P是C上一动点.点Q是OP的中点(O为坐标原点)，过点Q的直线交C于M，N两占，且|MQ|＝|NQ|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)证明：△MON的面积为定值.
思维建模探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可.
训练3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上的两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.
(1)求证：k1·k2＝－；
(2)试探求△OPQ的面积S是不是定值，并说明理由.
齐次化处理策略
一个方程中，如果所有非零项的次数都相同，则称之为齐次方程，例如：x＋2y＝0是一次齐次方程，x2－2xy－3y2＝0是二次齐次方程.在解决圆锥曲线某些问题联立方程组时，可以进行齐次化，以椭圆为例，已知△PAB为椭圆＋＝1(a>b>0)的内接三角形，其中P(x0，y0)为定点，A，B为两动点，可以直接构造两根为kPA，kPB的二次方程，步骤如下：
(1)若P是原点，直线mx＋ny＝1(这样设的好处是直接乘“1”齐次化)与＋＝1(a>b>0)联立，得＋＝(mx＋ny)2，整理得Ax2＋Bxy＋Cy2＝0，同除以x2，
有C·＋B·＋A＝0，即Ck2＋Bk＋A＝0，故kPA＋kPB＝－，kPA·kPB＝.
(2)若P不是原点，先将图形平移使P为原点(平移坐标系)，平移口诀是“左加右减、上减下加”，如＋＝1向左平移1个单位，向上平移2个单位为＋＝1，再与mx＋ny＝1联立，下同1.
需要指出的是，如果是求斜率问题可直接用，但在求定点问题时，要进行反向平移.
一、直接齐次化
例1已知抛物线y2＝2px(p>0)，过原点且互相垂直的两直线OA，OB交抛物线于A，B.求证：直线AB过定点.
二、先平移再齐次化
例2(2025·杭州模拟节选)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)，设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
训练已知椭圆＋＝1(a>b>0)的中心为原点O，P，Q分别在椭圆上，且OP⊥OQ.求证：＋为定值.
题型分析 在解析几何题目中，有些几何量与参数无关，这类问题被称为定值问题.定值问题是高考的热点问题、难度较大，一般作为压轴题出现.
题型一 长度或距离为定值
例1(2025·长沙测试)已知M，N分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，F为其右焦点，|FM|＝3|FN|，且点P在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明：＋为定值.
思维建模探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.
训练1(2025·东北三省四市模拟)在平面直角坐标系中，F1，F2分别为双曲线C：3x2－y2＝a2(a>0)的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点.当l与x轴垂直时，△ABF1的面积为12.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当l与x轴不垂直时，作线段AB的垂直平分线，交x轴于点D.试判断是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
题型二 斜率或代数式为定值
例2(2025·合肥质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，左顶点为A，短轴长为2，且经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l(不与x轴重合)与C交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4的交点分别为M，N，记直线MF，NF的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为
定值.
思维建模1.求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值.
2.在证明一条直线斜率或两条直线斜率和，差或者积与商为定值的问题中，我们需要先将斜率表示出来，然后利用相关量之间的关系式化简即可.
训练2已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若|F1F2|＝2，△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设＝λ，＝μ，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值；否则，说明理由.
题型三 几何图形的面积为定值
例3(2025·太原模拟节选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点，且离心率e＝，点P是C上一动点.点Q是OP的中点(O为坐标原点)，过点Q的直线交C于M，N两占，且|MQ|＝|NQ|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)证明：△MON的面积为定值.
思维建模探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可.
训练3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上的两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.
(1)求证：k1·k2＝－；
(2)试探求△OPQ的面积S是不是定值，并说明理由.
齐次化处理策略
一个方程中，如果所有非零项的次数都相同，则称之为齐次方程，例如：x＋2y＝0是一次齐次方程，x2－2xy－3y2＝0是二次齐次方程.在解决圆锥曲线某些问题联立方程组时，可以进行齐次化，以椭圆为例，已知△PAB为椭圆＋＝1(a>b>0)的内接三角形，其中P(x0，y0)为定点，A，B为两动点，可以直接构造两根为kPA，kPB的二次方程，步骤如下：
(1)若P是原点，直线mx＋ny＝1(这样设的好处是直接乘“1”齐次化)与＋＝1(a>b>0)联立，得＋＝(mx＋ny)2，整理得Ax2＋Bxy＋Cy2＝0，同除以x2，
有C·＋B·＋A＝0，即Ck2＋Bk＋A＝0，故kPA＋kPB＝－，kPA·kPB＝.
(2)若P不是原点，先将图形平移使P为原点(平移坐标系)，平移口诀是“左加右减、上减下加”，如＋＝1向左平移1个单位，向上平移2个单位为＋＝1，再与mx＋ny＝1联立，下同1.
需要指出的是，如果是求斜率问题可直接用，但在求定点问题时，要进行反向平移.
一、直接齐次化
例1已知抛物线y2＝2px(p>0)，过原点且互相垂直的两直线OA，OB交抛物线于A，B.求证：直线AB过定点.
二、先平移再齐次化
例2(2025·杭州模拟节选)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)，设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
训练已知椭圆＋＝1(a>b>0)的中心为原点O，P，Q分别在椭圆上，且OP⊥OQ.求证：＋为定值.
