第14节 最值、范围问题（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第14节 最值、范围问题
题型分析 解析几何中的最值与范围问题是解析几何中的典型问题，是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究，而且要从代数角度进行函数等相关运算.
题型一 最值问题
角度1 函数性质法求最值
例1(2025·海南调研)已知O为坐标原点，F1，A，B分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点、左顶点、右顶点，C是椭圆上一点(异于A，B)，线段CF1的中点为D，|DF1|＋|DO|＝2，|AF1|＝1.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知过F1且斜率不为0的直线l与椭圆E交于M，N两点，求四边形AMBN面积的最大值.
角度2 不等式法求最值
例2已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
思维建模1.圆锥曲线中的最值问题往往涉及面积的最大、最小问题；距离最长、最短以及一些代数式的最值等.
2.函数性质法通常是借助单调性(导数)、配方等方法求解最值；不等式法往往涉及基本不等式，判别式等方法求最值，无论哪种情形，均要关注等号能否取到.
训练1(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值.
题型二 范围问题
例3(15分)(2024·天津卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，椭圆的离心率e＝，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得·≤0？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.
[思路分析](1)结合椭圆的性质，以及三角形的面积公式，可求椭圆方程；
(2)根据已知条件，设出T坐标(0，t)，动直线分两种情况讨论
①动直线斜率不存在时，写出P，Q具体坐标表示·，解不等式得t范围；
②动直线斜率存在时，借助韦达定理表示P，Q坐标的关系，进而将·用含t的式子表示，解不等式得t范围.
[规范解答] 解(1)因为e＝＝，
所以a＝2c，b＝＝c，
由题知A(－a，0)，B(0，－b)，C，?
→(1分)
所以S△ABC＝·|BC|·|OA|＝··a
＝··2c＝，得c＝，
?
→(4分)
故椭圆的方程为＋＝1.?
→(5分)
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t).
?
不妨设P(0，3)，Q(0，－3)，
则·＝(0，3－t)·(0，－3－t)＝t2－9≤0，
解得－3≤t≤3.(7分)
→
当直线PQ的斜率存在时，
设其方程为y＝kx－，?
→(8分)
由可得(3＋4k2)x2－12kx－27＝0，
所以Δ＝144k2＋4×27(3＋4k2)>0，
x1＋x2＝，x1x2＝－.?
→(10分)
所以·＝(x1，y1－t)·(x2，y2－t)
＝x1x2＋(y1－t)(y2－t)
＝x1x2＋
＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋
＝－－＋
＝
＝，?
→(12分)
因为·≤0，
所以(4t2－36)k2＋3t2＋9t－≤0对k∈R恒成立，
则有?
→
解得－3≤t≤.(14分)
综上可得－3≤t≤，
即点T的纵坐标的取值范围是.?
→(15分)
[满分规则]
?得步骤分
由①写出点坐标，③⑨写结果，⑤设方程各得1分，这里体现了步骤的完整性；
?得关键分
由④讨论斜率不存在的情形，⑥方程组联立化简、判别式、韦达定理的表示，各得2分，体现了关键点的必要性；
?得计算分
由②计算a，b，c的值得3分，由⑦进行式子的化简，由⑨解不等式组，各得2分，考查计算的准确性.
训练2(2025·东北三校联考节选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为E(1，0)，斜率为1的直线交双曲线C于M，N两点，且MN的中点为Q(1，3).
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交，交点分别为A，B，且分别在第一象限和第四象限，若＝λ，λ∈，求△AOB面积的取值范围.
题型分析 解析几何中的最值与范围问题是解析几何中的典型问题，是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究，而且要从代数角度进行函数等相关运算.
题型一 最值问题
角度1 函数性质法求最值
例1(2025·海南调研)已知O为坐标原点，F1，A，B分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点、左顶点、右顶点，C是椭圆上一点(异于A，B)，线段CF1的中点为D，|DF1|＋|DO|＝2，|AF1|＝1.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知过F1且斜率不为0的直线l与椭圆E交于M，N两点，求四边形AMBN面积的最大值.
角度2 不等式法求最值
例2已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
思维建模1.圆锥曲线中的最值问题往往涉及面积的最大、最小问题；距离最长、最短以及一些代数式的最值等.
2.函数性质法通常是借助单调性(导数)、配方等方法求解最值；不等式法往往涉及基本不等式，判别式等方法求最值，无论哪种情形，均要关注等号能否取到.
训练1(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值.
题型二 范围问题
例3(15分)(2024·天津卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，椭圆的离心率e＝，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得·≤0？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.
[思路分析](1)结合椭圆的性质，以及三角形的面积公式，可求椭圆方程；
(2)根据已知条件，设出T坐标(0，t)，动直线分两种情况讨论
①动直线斜率不存在时，写出P，Q具体坐标表示·，解不等式得t范围；
②动直线斜率存在时，借助韦达定理表示P，Q坐标的关系，进而将·用含t的式子表示，解不等式得t范围.
[规范解答] 解(1)因为e＝＝，
所以a＝2c，b＝＝c，
由题知A(－a，0)，B(0，－b)，C，?
→(1分)
所以S△ABC＝·|BC|·|OA|＝··a
＝··2c＝，得c＝，
?
→(4分)
故椭圆的方程为＋＝1.?
→(5分)
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t).
?
不妨设P(0，3)，Q(0，－3)，
则·＝(0，3－t)·(0，－3－t)＝t2－9≤0，
解得－3≤t≤3.(7分)
→
当直线PQ的斜率存在时，
设其方程为y＝kx－，?
→(8分)
由可得(3＋4k2)x2－12kx－27＝0，
所以Δ＝144k2＋4×27(3＋4k2)>0，
x1＋x2＝，x1x2＝－.?
→(10分)
所以·＝(x1，y1－t)·(x2，y2－t)
＝x1x2＋(y1－t)(y2－t)
＝x1x2＋
＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋
＝－－＋
＝
＝，?
→(12分)
因为·≤0，
所以(4t2－36)k2＋3t2＋9t－≤0对k∈R恒成立，
则有?
→
解得－3≤t≤.(14分)
综上可得－3≤t≤，
即点T的纵坐标的取值范围是.?
→(15分)
[满分规则]
?得步骤分
由①写出点坐标，③⑨写结果，⑤设方程各得1分，这里体现了步骤的完整性；
?得关键分
由④讨论斜率不存在的情形，⑥方程组联立化简、判别式、韦达定理的表示，各得2分，体现了关键点的必要性；
?得计算分
由②计算a，b，c的值得3分，由⑦进行式子的化简，由⑨解不等式组，各得2分，考查计算的准确性.
训练2(2025·东北三校联考节选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为E(1，0)，斜率为1的直线交双曲线C于M，N两点，且MN的中点为Q(1，3).
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交，交点分别为A，B，且分别在第一象限和第四象限，若＝λ，λ∈，求△AOB面积的取值范围.
