第15节 求值、证明、探索性问题（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第15节 求值、证明、探索性问题
题型分析 解析几何中的求值、证明、探索性问题是高考考查的热点，难度较大，常出现在高考题比较靠后的位置.求值问题常涉及求方程、斜率、参数值或范围、面积、周长等；证明、探索性问题常涉及定点、定值、最值、范围问题等.
题型一 求值问题
例1(2024·北京卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点
为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值；
思维建模求值问题往往考查以面积、斜率、坐标、代数式等为背景的问题，对计算能力的要求较高；另外，求值时，也要考虑某些特殊情形，如直线斜率不存在时的特殊值.
训练1(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积.
题型二 证明问题
例2(2024·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴.
(1)求C的方程；
(2)过点P(4，0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴.
思维建模圆锥曲线中的证明问题常见的有：
位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定
点等.
(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明.
训练2(2023·北京卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC|＝4.
(1)求E的方程；
(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD.
题型三 探索性问题
例3(2025·泉州调研)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点为F1(－2，0).
(1)求Γ的方程；
(2)如图，过Γ的上顶点P作动圆F1的切线分别交Γ于M，N两点，是否存在圆F1使得△PMN是以PN为斜边的直角三角形？若存在，求出圆F1的半径；若不存在，请说明理由.
思维建模此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
训练3(2025·镇江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2，0)，B(2，0)，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为－，点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知点F(1，0)，直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
非对称韦达定理
在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若Δ>0，设它的两个根分别为x1，x2，则
x1＋x2＝－，x1x2＝，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理|x1－x2|，x＋x，＋之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x1，x2的不同系数的代数式的运算，比如求，或λx1＋μx2之类的结构，就相对较难的转化到应用韦达定理来处理了.我们把这种形如x1＋2x2，λx1y2＋μx2y1，或之类中x1，x2的系数不对称的式子，称为“非对称韦达定理”问题.一般的解决方法有：
(1)代换法：利用韦达定理消去x或y中的一个，一般而言，用直线方程中的x和y进行代换消元，如果选择代换消去y，则正设直线y＝kx＋b；选择代换消去x，则反设直线x＝my＋t.
(2)和积转化法：即运用?h(t)x1x2＝m(x1＋x2)进行转化，一般情况下，多把积化和，且m多为常数；
(3)配凑半代换法：对能代换的部分进行韦达代换，剩下的部分进行配凑，而半代换也有一定技巧，比如题中的＝，可将分子整理为＝，利用等比关系，从结构上可以猜测定值为.
典例已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，点M在E上，MF1⊥F1F2，△MF1F2的周长为6＋4，面积为c.
(1)求E的方程；
(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，则________.(从以下①②两个问题中任选一个填到横线上并给出解答)
①求直线AC和BD交点的轨迹；
②是否存在实常数λ，使得k1＝λk2恒成立.
训练如图所示，椭圆有两个顶点A(－1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q.
(1)当|CD|＝时，求直线l的方程；
(2)当P点异于A，B两点时，证明：·为定值.
题型分析 解析几何中的求值、证明、探索性问题是高考考查的热点，难度较大，常出现在高考题比较靠后的位置.求值问题常涉及求方程、斜率、参数值或范围、面积、周长等；证明、探索性问题常涉及定点、定值、最值、范围问题等.
题型一 求值问题
例1(2024·北京卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点
为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值；
思维建模求值问题往往考查以面积、斜率、坐标、代数式等为背景的问题，对计算能力的要求较高；另外，求值时，也要考虑某些特殊情形，如直线斜率不存在时的特殊值.
训练1(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积.
题型二 证明问题
例2(2024·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴.
(1)求C的方程；
(2)过点P(4，0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴.
思维建模圆锥曲线中的证明问题常见的有：
位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定
点等.
(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明.
训练2(2023·北京卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC|＝4.
(1)求E的方程；
(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD.
题型三 探索性问题
例3(2025·泉州调研)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点为F1(－2，0).
(1)求Γ的方程；
(2)如图，过Γ的上顶点P作动圆F1的切线分别交Γ于M，N两点，是否存在圆F1使得△PMN是以PN为斜边的直角三角形？若存在，求出圆F1的半径；若不存在，请说明理由.
思维建模此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
训练3(2025·镇江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2，0)，B(2，0)，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为－，点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知点F(1，0)，直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
非对称韦达定理
在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若Δ>0，设它的两个根分别为x1，x2，则
x1＋x2＝－，x1x2＝，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理|x1－x2|，x＋x，＋之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x1，x2的不同系数的代数式的运算，比如求，或λx1＋μx2之类的结构，就相对较难的转化到应用韦达定理来处理了.我们把这种形如x1＋2x2，λx1y2＋μx2y1，或之类中x1，x2的系数不对称的式子，称为“非对称韦达定理”问题.一般的解决方法有：
(1)代换法：利用韦达定理消去x或y中的一个，一般而言，用直线方程中的x和y进行代换消元，如果选择代换消去y，则正设直线y＝kx＋b；选择代换消去x，则反设直线x＝my＋t.
(2)和积转化法：即运用?h(t)x1x2＝m(x1＋x2)进行转化，一般情况下，多把积化和，且m多为常数；
(3)配凑半代换法：对能代换的部分进行韦达代换，剩下的部分进行配凑，而半代换也有一定技巧，比如题中的＝，可将分子整理为＝，利用等比关系，从结构上可以猜测定值为.
典例已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，点M在E上，MF1⊥F1F2，△MF1F2的周长为6＋4，面积为c.
(1)求E的方程；
(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，则________.(从以下①②两个问题中任选一个填到横线上并给出解答)
①求直线AC和BD交点的轨迹；
②是否存在实常数λ，使得k1＝λk2恒成立.
训练如图所示，椭圆有两个顶点A(－1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q.
(1)当|CD|＝时，求直线l的方程；
(2)当P点异于A，B两点时，证明：·为定值.
