第16节 解析几何中的融合创新问题（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第16节 解析几何中的融合创新问题
题型分析 解析几何中的融合创新问题主要有以下几个方面：(1)与圆锥曲线有关的新定义问题；(2)圆锥曲线与数列的交汇问题；(3)圆锥曲线与导数的交汇问题.
题型一 与圆锥曲线有关的新定义问题
例1(2025·石家庄调研)在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的“距离”为|AB|＝|x2－x1|＋|y2－y1|，我们把到两定点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)的“距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫“椭圆”.
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设c＝1，a＝2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C，C的左顶点为A，过F2作直线交C于M，N两点，△AMN的外心为Q，求证：直线OQ与MN的斜率之积为定值.
思维建模1.题干中定义“椭圆”的距离：|AB|＝|x2－x1|＋|y2－y1|称为曼哈顿距离，平面内到一个定点的曼哈顿距离等于定值的点的轨迹是一个正方形，到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹是一个六边形.
2.解决与曼哈顿距离有关的问题一般要利用绝对值的意义求解.
训练1(2024·武汉模拟)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足＋＋＝0，则称该三角形为“核心三角形”.
(1)设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；
(2)已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2.
题型二 圆锥曲线与数列、导数的交汇问题
例2(2024·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，点P1(5，4)在C上，k为常数，0
(1)若k＝，求x2，y2；
(2)证明：数列{xn－yn}是公比为的等比数列；
(3)设Sn为△PnPn＋1Pn＋2的面积，证明：对于任意的正整数n，Sn＝Sn＋1.
思维建模本题分层设问，环环相扣，三问都可以通过基本方法简化计算过程；第(2)问利用固定斜率的直线与双曲线交点的性质可以迅速得出结论；第(3)问证明面积相等时，可以将问题转化为证明两条直线平行.试题充分体现了“多想少算”的设计理念.
训练2(2024·温州二模)如图，对于曲线Γ，存在圆C满足如下条件：
①圆C与曲线Γ有公共点A，且圆心在曲线Γ凹的一侧；
②圆C与曲线Γ在点A处有相同的切线；
③曲线Γ的导函数在点A处的导数(即曲线Γ的二阶导数)等于圆C在点A处的二阶导数(已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2在点A(x0，y0)处的二阶导数等于)；则称圆C为曲线Γ在A点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径.
(1)求抛物线y＝x2在原点处的曲率圆的方程；
(2)求曲线y＝的曲率半径的最小值；
(3)若曲线y＝ex在(x1，ex1)和(x2，ex2)(x1≠x2)处有相同的曲率半径，求证：x1＋x2<－ln2.
题型分析 解析几何中的融合创新问题主要有以下几个方面：(1)与圆锥曲线有关的新定义问题；(2)圆锥曲线与数列的交汇问题；(3)圆锥曲线与导数的交汇问题.
题型一 与圆锥曲线有关的新定义问题
例1(2025·石家庄调研)在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的“距离”为|AB|＝|x2－x1|＋|y2－y1|，我们把到两定点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)的“距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫“椭圆”.
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设c＝1，a＝2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C，C的左顶点为A，过F2作直线交C于M，N两点，△AMN的外心为Q，求证：直线OQ与MN的斜率之积为定值.
思维建模1.题干中定义“椭圆”的距离：|AB|＝|x2－x1|＋|y2－y1|称为曼哈顿距离，平面内到一个定点的曼哈顿距离等于定值的点的轨迹是一个正方形，到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹是一个六边形.
2.解决与曼哈顿距离有关的问题一般要利用绝对值的意义求解.
训练1(2024·武汉模拟)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足＋＋＝0，则称该三角形为“核心三角形”.
(1)设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；
(2)已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2.
题型二 圆锥曲线与数列、导数的交汇问题
例2(2024·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，点P1(5，4)在C上，k为常数，0
(1)若k＝，求x2，y2；
(2)证明：数列{xn－yn}是公比为的等比数列；
(3)设Sn为△PnPn＋1Pn＋2的面积，证明：对于任意的正整数n，Sn＝Sn＋1.
思维建模本题分层设问，环环相扣，三问都可以通过基本方法简化计算过程；第(2)问利用固定斜率的直线与双曲线交点的性质可以迅速得出结论；第(3)问证明面积相等时，可以将问题转化为证明两条直线平行.试题充分体现了“多想少算”的设计理念.
训练2(2024·温州二模)如图，对于曲线Γ，存在圆C满足如下条件：
①圆C与曲线Γ有公共点A，且圆心在曲线Γ凹的一侧；
②圆C与曲线Γ在点A处有相同的切线；
③曲线Γ的导函数在点A处的导数(即曲线Γ的二阶导数)等于圆C在点A处的二阶导数(已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2在点A(x0，y0)处的二阶导数等于)；则称圆C为曲线Γ在A点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径.
(1)求抛物线y＝x2在原点处的曲率圆的方程；
(2)求曲线y＝的曲率半径的最小值；
(3)若曲线y＝ex在(x1，ex1)和(x2，ex2)(x1≠x2)处有相同的曲率半径，求证：x1＋x2<－ln2.
