课标要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.

3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.



【知识梳理】

1.角的概念的推广

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的______旋转所形成的图形.

(2)分类

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合

S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.

(2)公式

角α的弧度数公式

|α|＝(弧长用l表示)

角度与弧度的换算

1°＝rad；1rad＝________

弧长公式

弧长l＝________

扇形面积公式

S＝________＝________

3.任意角的三角函数

(1)定义



前提

如图，设α是一个任意角，它的终边与________交于点P(x，y)



定义

正弦

______叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝______



余弦

______叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝______



正切

______叫做α的正切函数，记作tanα，

即tanα＝______(x≠0)



三角

函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数

(2)定义的推广

设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα＝______；cosα＝______，tanα＝______(x≠0).

[常用结论与微点提醒]

1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.象限角





3.轴线角



4.若角α∈，则sinα1.()

2.(苏教必修一P170例2改编)已知α是第一象限角，那么是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或二象限角D.第一或三象限角

3.(人教A必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sinθ＋cosθ＝________.

4.(北师大必修二P12B组T2)在半径为R的圆中，120°的圆心角所对的弧长为________，面积为2R2的扇形的圆心角等于________弧度.



考点一 象限角及终边相同的角

例1(1)(多选)下列命题正确的是()

A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}

B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}

C.第三象限角的集合为



D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°

(2)若α是第二象限角，则()

A.－α是第一象限角

B.是第三象限角

C.＋α是第二象限角

D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角









思维建模1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.

2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法

先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置；对于终边所在位置可以采用如下方法：若θ分别为第一、二、三、四象限角，则的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示.





训练1(1)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是()



(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________.

考点二 弧度制及其应用

例2已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α>0).

(1)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；

(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？













思维建模应用弧度制解决问题时应注意：

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

训练2(2025·沈阳调研)成都大运会官方体育图标——“十八墨宝”以大熊猫“奇一”为原型，将中国体育与中国书画、中国国宝的融合做到了极致.如图1所示，射箭的“水墨熊猫”以真实的射箭运动为原型，生动形象.在如图2所示的弓形中，弧中点到弦中点的距离为2cm，弦长为8cm，则弓形的面积约为(参考数据：

sin74°≈0.96，π≈3.14)()



A.8.2cm2B.9.1cm2

C.11.1cm2D.4.1cm2

考点三 三角函数的定义及应用

角度1 三角函数的定义

例3(1)(2025·河南五市联考)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝x上，则有()

A.sinα＝－B.cosα＝

C.sinα＋cosα＝±D.tanα＝±1

(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，则m的值为()

A.－B.－

C.D.





角度2 三角函数值符号的判定

例4(2025·华东师大附中模拟)如果θ是第三象限角，则()

A.sin2θ>0且tan2θ>0B.sin>0且tan2θ>0

C.sin2θ>0且tan0且tan>0





思维建模1.三角函数定义的应用

(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.

(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.

2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.

训练3(1)(多选)(2024·湖北部分学校联考)若角α的顶点在坐标原点，始边为x轴的非负半轴且sinα·sin>0，则α的终边可能在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

(2)(2025·乌鲁木齐...