课标要求1.了解构成函数的三要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.理解简单的分段函数，并能简单应用.



【知识梳理】

1.函数的概念

概念

一般地，设A，B是非空的______，如果对于集合A中的__________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

三要素

对应关系

y＝f(x)，x∈A



定义域

____________的取值范围



值域

与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}

2.同一个函数的概念

(1)前提条件：①定义域________；②对应关系________.

(2)结论：这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有________、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的________.

[常用结论与微点提醒]

1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.

2.注意以下几种特殊函数的定义域：

(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.

(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.

(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)f(x)＝＋是一个函数.()

(2)函数就是定义域到值域的对应关系.()

(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.()

(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()

2.(人教A必修一P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是()

A.y＝()2B.u＝

C.y＝D.m＝

3.(北师大必修一P55例2(2)改编)函数y＝＋的定义域为________.

4.(苏教必修一P134T3改编)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝______.





考点一 函数的定义域

例1(1)(2025·重庆质检)函数f(x)＝＋的定义域是()

A.[1，4]B.[1，4)

C.[1，＋∞)D.[2，4)

(2)(2024·邢台调研)若函数f(3x－2)的定义域为[－2，3]，则函数f(2x＋3)的定义域为________.















思维建模1.求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

2.求抽象函数定义域的方法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.

(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.

训练1(1)已知函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，则函数F(x)＝f(2x－3)＋的定义域为()

A.(2，3]B.(－2，3]

C.[－2，3]D.(0，3]

(2)(2024·惠州质检)若函数f(x)＝的定义域为[3，＋∞)，则实数a＝________，实数b的取值范围为________.

考点二 函数的解析式

例2(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；

(2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；

(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；

(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.





























思维建模函数解析式的求法

(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).

训练2(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________.

(2)已知函数f(x)对任意x满足3f(x)－f(2－x)＝4x，则f(x)＝________.















考点三 分段函数

角度1 分段函数求值

例3(2025·武汉调研)已知f(x)＝

则f＝()

A.2B.

C.D.1













角度2 分段函数与方程、不等式

例4(1)已知函数f(x)＝若f(2030)＝1，则实数a的值为()

A.0B.1

C.2D.4

(2)(2025·包头调研)设函数f(x)＝则满足f(2x)>f(x＋1)的x的取值范围是()

A.(－1，0)B.(1，＋∞)

C.(0，1)D.(－1，1)















思维建模1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.

2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.

训练3(1)(2025·连云港模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝1，则a＝________.

(2)若函数f(x)＝则f(f(－1))＝________，不等式f(x)>2的解集是________.