课标要求1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.能用两个原理解决简单的实际问题.



【知识梳理】

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝________种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法.

3.分类加法和分步乘法计数原理的区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

[常用结论与微点提醒]

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.

(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.

(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成一件事.()

(2)在分步乘法计数原理中，每个步骤的方法都能单独完成一件事.()

(3)在运用计数原理时，分类的标准是唯一的.()

(4)在处理较为复杂的计数问题时，一定要先分类再分步.()

2.(苏教选修二P63T6原题)若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有()

A.34种B.43种

C.3×2×1种D.4×3×2种

3.(人教A选修三P11T1改编)乘积(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后共有项数为()

A.11B.16

C.45D.144

4.(北师大选修一P162习题5－1T1改编)在1，2，3，…，200中，被5整除余1的数共有________个.



考点一 分类加法计数原理

例1(1)(2025·南宁质检)甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()

A.4种B.6种

C.10种D.16种

(2)椭圆＋＝1(m>0，n>0)的焦点在x轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为________.













思维建模使用分类加法计数原理的两个注意点

(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.

(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.

训练1(1)集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()

A.9B.14

C.15D.21

(2)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定______个平面.











考点二 分步乘法计数原理

例2(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径系数为()



A.24B.18

C.12D.9

(2)(2024·新高考Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________.



11

21

31

40

12

22

33

42

13

22

33

43

15

24

34

44







思维建模1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.

2.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.

训练2(1)(2025·广州模拟)为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有()

A.48种B.36种

C.24种D.12种

(2)若将6本不同的书放到5个不同的盒子里，则不同的放法种数为()

A.6B.30

C.56D.66

考点三 两个计数原理的综合

角度1 与数字有关的问题

例3(2024·上海卷)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为________.







角度2 与几何有关的问题

例4如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()

A.60B.48

C.36D.24







角度3 涂色问题

例5(2025·郑州模拟)中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有()



A.1050种B.1260种

C.1302种D.1512种







思维建模1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：(1)一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理；(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.

2.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域...