第1节 导数的概念及运算（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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文件简介::
课标要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
【知识梳理】
1.导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作______或________，f′(x0)＝limΔx→0＝______________.
(2)函数y＝f(x)的导函数
f′(x)＝limΔx→0.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________，相应的切线方程为____________.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝______
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f′(x)＝______
f(x)＝sinx
f′(x)＝______
f(x)＝cosx
f′(x)＝______
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝______
f(x)＝ex
f′(x)＝______
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝______
f(x)＝lnx
f′(x)＝______
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝________________；
(2)[f(x)g(x)]′＝________________；
(3)′＝________________(g(x)≠0)；
(4)[cf(x)]′＝________________.
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
[常用结论与微点提醒]
1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数.
2.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.并注意“在点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上.
3.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的瞬时变化率.()
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cosx.()
(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).()
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()
2.(人教B选修三P87例3改编)(多选)下列导数运算中正确的是()
A.(e5x－1)′＝5e5x－1
B.(ln(2x＋1))′＝
C.()′＝
D.(sin(2x＋))′＝－2cos(2x＋)
3.(人教A选修二P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)＝f′cosx－sinx，则f′＝__________.
4.(人教A选修二P82T11改编)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝alnx＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝________.
考点一 导数的概念
例1已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：
(1)limΔx→0；
(2)limΔx→0.
思维建模由导数的定义可知，若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则f′(x0)＝limΔx→0，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f(1－Δx)－f(1)时，分母也应该是(1－Δx)－1，要注意公式的变形.
训练1(1)limh→0＝()
A.0B.2cosx
C.cos2xD.2cos2x
(2)若f′(x)是函数f(x)的导数，且f′(a)＝－1，则limx→a＝()
A.－5B.－4
C.－1D.0
考点二 导数的运算
例2求下列函数的导数：
(1)y＝x2sinx；(2)y＝ln；
(3)y＝；
(4)y＝xsincos.
思维建模1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
训练2(1)(多选)(2025·河南名校调研)下列求导运算正确的是()
A.′＝1－
B.(e2x)′＝e2x
C.(log2x)′＝
D.′＝
(2)(2025·常州质检)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋2xf′(2)－lnx，则f′(2)的值为________.
考点三 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例3(1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()
A.B.
C.D.
(2)(2025·贵阳模拟)过点P(1，－3)作曲线y＝2x3－3x的切线，切线的方程为________.
角度2 求切点坐标或参数
例4(1)(2025·葫芦岛质测)已知直线y＝ax－1与曲线y＝相切，则a的值为()
A.1B.
C.D.2e2
(2)(2025·昆明诊断)若曲线f(x)＝2ax2＋ln(x－1)存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是()
A.(－∞，1)B.(－∞，－1)
C.(－∞，0)D.(－∞，e)
思维建模求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
训练3(1)(2025·太原调研)曲线y＝＋sin在点(0，1)处的切线方程为()
A.y＝x－1B.x＝1
C.y＝1D.y＝x＋1
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________.
公切线问题
1.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会...
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
【知识梳理】
1.导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作______或________，f′(x0)＝limΔx→0＝______________.
(2)函数y＝f(x)的导函数
f′(x)＝limΔx→0.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________，相应的切线方程为____________.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝______
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f′(x)＝______
f(x)＝sinx
f′(x)＝______
f(x)＝cosx
f′(x)＝______
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝______
f(x)＝ex
f′(x)＝______
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝______
f(x)＝lnx
f′(x)＝______
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝________________；
(2)[f(x)g(x)]′＝________________；
(3)′＝________________(g(x)≠0)；
(4)[cf(x)]′＝________________.
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
[常用结论与微点提醒]
1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数.
2.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.并注意“在点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上.
3.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的瞬时变化率.()
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cosx.()
(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).()
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()
2.(人教B选修三P87例3改编)(多选)下列导数运算中正确的是()
A.(e5x－1)′＝5e5x－1
B.(ln(2x＋1))′＝
C.()′＝
D.(sin(2x＋))′＝－2cos(2x＋)
3.(人教A选修二P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)＝f′cosx－sinx，则f′＝__________.
4.(人教A选修二P82T11改编)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝alnx＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝________.
考点一 导数的概念
例1已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：
(1)limΔx→0；
(2)limΔx→0.
思维建模由导数的定义可知，若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则f′(x0)＝limΔx→0，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f(1－Δx)－f(1)时，分母也应该是(1－Δx)－1，要注意公式的变形.
训练1(1)limh→0＝()
A.0B.2cosx
C.cos2xD.2cos2x
(2)若f′(x)是函数f(x)的导数，且f′(a)＝－1，则limx→a＝()
A.－5B.－4
C.－1D.0
考点二 导数的运算
例2求下列函数的导数：
(1)y＝x2sinx；(2)y＝ln；
(3)y＝；
(4)y＝xsincos.
思维建模1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
训练2(1)(多选)(2025·河南名校调研)下列求导运算正确的是()
A.′＝1－
B.(e2x)′＝e2x
C.(log2x)′＝
D.′＝
(2)(2025·常州质检)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋2xf′(2)－lnx，则f′(2)的值为________.
考点三 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例3(1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()
A.B.
C.D.
(2)(2025·贵阳模拟)过点P(1，－3)作曲线y＝2x3－3x的切线，切线的方程为________.
角度2 求切点坐标或参数
例4(1)(2025·葫芦岛质测)已知直线y＝ax－1与曲线y＝相切，则a的值为()
A.1B.
C.D.2e2
(2)(2025·昆明诊断)若曲线f(x)＝2ax2＋ln(x－1)存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是()
A.(－∞，1)B.(－∞，－1)
C.(－∞，0)D.(－∞，e)
思维建模求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
训练3(1)(2025·太原调研)曲线y＝＋sin在点(0，1)处的切线方程为()
A.y＝x－1B.x＝1
C.y＝1D.y＝x＋1
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________.
公切线问题
1.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会...
