课标要求1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.





【知识梳理】

1.向量的有关概念

(1)向量：既有________又有________的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的________(或称模)，记作________.

(2)零向量：____________的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于____________长度的向量.

(4)平行向量(共线向量)：方向________或________的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.

规定：0与任一向量________.

(5)相等向量：长度________且方向__________的向量.

(6)相反向量：长度________且方向__________的向量.

2.向量的线性运算











向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算



三角形法则



平行四边形法则

(1)交换律：a＋b＝__________

(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________

减法

求两个向量差的运算



三角形法则

a－b＝a＋(－b)

数乘

规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa

(1)|λa|＝______；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝________

λ(μa)＝________；

(λ＋μ)a＝

________；

λ(a＋b)＝

________

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________.

[常用结论与微点提醒]

1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).

2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.

3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关.()

(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()

(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()

(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.()

2.(人教A必修二P5T3改编)(多选)下列说法错误的是()

A.非零向量与是两平行向量

B.若a＝b，b＝c，则a＝c

C.若a与b都是单位向量，则a＝b

D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

3.(苏教必修二P47T17改编)已知a，b是两个不共线向量，向量b－ta与a－b共线，则实数t＝______.

4.(北师大必修二P89例6改编)如图，点O是?ABCD外一点，用，，表示＝________.







考点一 平面向量的概念

例1(1)(多选)下列命题正确的有()

A.方向相反的两个非零向量一定共线

B.零向量是唯一没有方向的向量

C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

D.“若A，B，C，D是不共线的四点，且＝”?“四边形ABCD是平行四边形”

(2)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是()

A.a＝－bB.a∥b

C.a＝2bD.a∥b且|a|＝|b|





思维建模平行向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.

(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.

训练1(1)下列命题中正确的是()

A.向量的长度与向量的长度相等

B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

C.a与b同向，且|a|>|b|，则a>b

D.两个终点相同的向量，一定是共线向量

(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为()



A.B.

C.D.

考点二 平面向量的线性运算

例2(1)(2025·深圳模拟)在△ABC中，D是线段AB上靠近B的四等分点，E是线段CD上靠近D的三等分点，则＝()

A.－＋B.－

C.－＋D.－＋

(2)(2025·大连双基测试)在△ABC中，若＝m，＝＋λ，则λ＝()

A.B.

C.－D.－





思维建模平面向量线性运算的常见类型及解题策略

(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.

(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.

训练2(1)(2025·长沙调研)已知D是△ABC所在平面内一点，＝＋，则()

A.＝B.＝

C.＝D.＝

(2)(2025·西安模拟)在△ABC中，D在BC上，且＝2，E在AD上，且＝4.若＝x＋y，则x＋y＝()

A.B.

C.－D.－

考点三 共线向量定理的应用

例3(1)(2025·泰州调研)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝ke1－4e2(k∈R)共线，则()

A.k＝0B.k＝±2

C.k＝2D.k＝－2

(2)(2025·衡水调研)已知点O是△ABC的重心，过点O的直线与边AB，AC分别交于M，N两点，D为边BC的中点.若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝()

A.B.

C.2D.









思维建模利用共线向量定理解题的策略

(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线?，共线.

(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.

训练3(1)已...