课标要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.



【知识梳理】

1.数列的定义

按照____________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

分类标准

类型

满足条件

项数

有穷数列

项数________



无穷数列

项数________

项与项间的大小关系

递增数列

an＋1____an

其中n∈N*



递减数列

an＋1____an





常数列

an＋1＝an





摆动数列

从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.

4.数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

5.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.

[常用结论与微点提醒]

1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝

2.在数列{an}中，若an最大，则

若an最小，则

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()

(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.()

(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()

(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()

2.(北师大选修二P4T2改编)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是()

A.21B.33

C.152D.153

3.(人教B选修三P13例3改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式an等于()

A.nB.2n

C.2n＋1D.n＋1

4.(人教A选修二P8练习T3改编)已知数列{an}满足a1＝2，an＝2－(n≥2)，则a5＝______，猜想an＝________.



考点一 由an与Sn的关系求通项

例1(1)(2025·太原调研)已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2，n∈N*，则{an}的通项公式an＝________.

(2)已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.







思维建模1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式.

2.Sn与an关系问题的求解思路

方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.

方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.

训练1(1)(2025·济南质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n＋1，则{an}的通项公式为________.

(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.

考点二 由数列的递推关系求通项公式

角度1 累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an

例2(2025·苏锡常镇调研)围棋起源于我国，至今已有4000多年的历史.在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列有关知识来计算.假设大小为n的眼有an口气，大小为(n＋1)的眼有an＋1口气，且a1＝1，a2＝2，an＋1－n＝an－1(n≥2，n∈N*)，则an的通项公式为________.







角度2 累乘法——形如＝f(n)，求an

例3(2025·湖州质检)若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2)，a1＝2，则使不等式anf(x－1)＋f(x－2)，且当x100B.f(20)>1000

C.f(10)

an＋1，且对任意n∈{n|n≥7，n∈N}都有an
A.B.

C.D.



(3)已知数列{an}的通项an＝，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为________.