课标要求1.在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等).



【知识梳理】

1.直线的方向向量

设A，B为直线上的两点，则________就是这条直线的方向向量.

2.直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l________的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；

(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________；

(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是________________.

3.直线的斜率

(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________.

(2)计算公式

①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝______________.

②若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝____；直线的方向向量可以记为(1，k).

4.直线方程的五种形式

名称

几何条件

方程

适用条件

斜截式

纵截距、斜率

______________

与x轴不垂直的直线

点斜式

过一点、斜率

______________



两点式

过两点

______________

与两坐标轴均不垂直的直线

截距式

纵、横截距

______________

不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线

一般式



Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)

所有直线

[常用结论与微点提醒]

1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系

α

0°

0°0

不存在

k0)可能是()



3.(北师大选修一P8T3改编)已知直线l的一个方向向量v＝(3，1)，则直线l的斜率为()

A.－3B.3

C.－D.

4.(人教A选修一P67习题2.2T2改编)已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.



考点一 直线的倾斜角与斜率

例1(1)已知直线l的一个方向向量为p＝，则直线l的倾斜角为()

A.B.

C.D.

(2)已知两点A(2，－3)，B(－3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是()

A.－4≤k≤－B.k≤－4或k≥－

C.－4≤k≤D.－≤k≤4





思维建模1.斜率的三种求法：定义法、斜率公式法、方向向量法.

2.倾斜角和斜率范围求法：(1)图形观察(数形结合)；(2)充分利用函数k＝tanα的单调性.

3.当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大.

训练1(1)(2025·贵阳调研)直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，则“α＝β”是“tanα＝tanβ”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________________；倾斜角的取值范围为____________.

考点二直线的方程

例2求符合下列条件的直线方程：

(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；

(2)直线过点A(0，－1)和B(－1，5)；

(3)直线过点A(2，1)，且横截距为纵截距的两倍.

























思维建模1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.

2.对于点斜式、截距式方程，要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).

训练2(1)(多选)(2025·武汉质检)下列说法正确的是()

A.截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示

B.方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行y轴的直线

C.经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)

D.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0

(2)已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________.





















考点三 直线方程的综合应用

例3已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.

















思维建模1.直线过定点问题，将参数的“系数”化为0，解关于x，y的方程组可求定点.

2.求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.

3.求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.

训练3(1)(2025·开封质检)若直线l：＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，＝()

A.2B.

C.D.

(2)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则实数a＝________.