第1节 集合（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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文件简介::
课标要求1.了解集合的含义，理解元素与集合的关系.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.
【知识梳理】
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、________、无序性.
(2)元素与集合的关系是________或不属于，表示符号分别为________和?.
(3)集合的三种表示方法：________、________、图示法.
(4)常用数集及记法
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
______
______
______
______
______
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的________，就称集合A为集合B的子集.记作A________B(或B________A).
(2)真子集：如果集合A?B，但________元素x∈B，且x?A，就称集合A是集合B的________，记作AB(或BA).
(3)相等：若A?B，且________，则A＝B.
(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何________集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为?UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
__________
{x|x∈U，且x?A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，
?U(?UA)＝A.
[常用结论与微点提醒]
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.
3.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，
?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).
【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.()
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.()
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立.()
2.(人教B必修一P9练习BT4改编)已知集合A＝{x－2，x＋5，12}，且－3∈A，则x＝________.
3.(人教A必修一P13T1改编)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩(?UB)＝________.
4.(苏教必修一P23T14改编)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B?A，则实数a的取值范围是________.
考点一 集合的基本概念
例1(1)(2024·南京二模)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为________.
(2)若含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b，0}，则a2026＋b2026＝________.
思维建模1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
训练1(1)(2025·银川、昆明联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x＝mn，m∈A，n∈A}，则集合B的真子集个数是()
A.4B.7
C.8D.15
(2)(2025·北京西城区调研)已知集合A＝{x||x－1|－3}
C.{x|－30}，B＝{x|log2(x－1)1}，B＝{x|x1}，定义集合A－B＝{x|x∈A且x?B}，则A－B＝________.
容斥问题
1.教材母题(人教A必修一P35T11)学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
2.上述问题的解决方法被称为容斥原理，在人教A必修一P15《阅读与思考》中有详细阐释，总结如下：
(1)二元容斥原理：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；
(2)三元容斥原理：card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(C∩A)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C).
典例(2024·吉林四校联考)某学校教师中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若至少会其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为________.
【知识梳理】
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、________、无序性.
(2)元素与集合的关系是________或不属于，表示符号分别为________和?.
(3)集合的三种表示方法：________、________、图示法.
(4)常用数集及记法
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
______
______
______
______
______
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的________，就称集合A为集合B的子集.记作A________B(或B________A).
(2)真子集：如果集合A?B，但________元素x∈B，且x?A，就称集合A是集合B的________，记作AB(或BA).
(3)相等：若A?B，且________，则A＝B.
(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何________集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为?UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
__________
{x|x∈U，且x?A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，
?U(?UA)＝A.
[常用结论与微点提醒]
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.
3.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，
?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).
【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.()
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.()
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立.()
2.(人教B必修一P9练习BT4改编)已知集合A＝{x－2，x＋5，12}，且－3∈A，则x＝________.
3.(人教A必修一P13T1改编)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩(?UB)＝________.
4.(苏教必修一P23T14改编)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B?A，则实数a的取值范围是________.
考点一 集合的基本概念
例1(1)(2024·南京二模)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为________.
(2)若含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b，0}，则a2026＋b2026＝________.
思维建模1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
训练1(1)(2025·银川、昆明联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x＝mn，m∈A，n∈A}，则集合B的真子集个数是()
A.4B.7
C.8D.15
(2)(2025·北京西城区调研)已知集合A＝{x||x－1|－3}
C.{x|－30}，B＝{x|log2(x－1)1}，B＝{x|x1}，定义集合A－B＝{x|x∈A且x?B}，则A－B＝________.
容斥问题
1.教材母题(人教A必修一P35T11)学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
2.上述问题的解决方法被称为容斥原理，在人教A必修一P15《阅读与思考》中有详细阐释，总结如下：
(1)二元容斥原理：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；
(2)三元容斥原理：card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(C∩A)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C).
典例(2024·吉林四校联考)某学校教师中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若至少会其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为________.
