第2节 与球有关的切、接问题（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第2节 与球有关的切、接问题
题型分析 研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心.
题型一 外接球
角度1 定义法
例1(2025·合肥调研)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝45°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积是()
A.14πB.16π
C.18πD.20π
角度2 补形法
例2(1)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为________.
(2)已知平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝60°.若沿对角线AC将△ABC折起到△B′AC的位置，使得B′D＝，则此时三棱锥B′－ACD的外接球的体积大小是________.
(3)(2025·湘豫名校联考)已知三棱锥P－ABC中，PB⊥平面ABC，PB＝2，AC＝6，∠ABC＝120°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为________.
思维建模1.正方体与球的切、接常用结论(正方体的棱长为a，球的半径为R)
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
2.若长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
3.正四面体的外接球的半径R＝a(a为该正四面体的棱长).
4.补形法的解题策略
(1)侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
(2)有一条侧棱与底面垂直的棱锥补成直棱柱求解.
角度3 借助三角形外心确定球心位置
例3(2025·湖州模拟)在三棱锥P－ABC中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，△PAC是边长为2的正三角形，二面角P－AC－B的大小为150°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为()
A.B.
C.D.
思维建模先过棱锥某个面(一般选取直角三角形、正三角形、矩形等)的外接圆圆心作该面的垂线，则球心一定在该垂线上，再根据球心到棱锥各个顶点的距离相等，结合勾股定理构建等式，确定球心及半径，这是解决此类问题的常规思路.
训练1(1)(2025·安徽皖江名校联考)在△ABC中，BC＝6，AB＋AC＝8，E，F，G分别为三边BC，CA，AB的中点，将△AFG，△BEG，△CEF分别沿FG，EG，EF向上折起，使得A，B，C三点重合，记为点P，则三棱锥P－EFG的外接球表面积的最小值为()
A.B.
C.D.
(2)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝PB＝PC＝AB＝，∠ACB＝，则球O的体积为()
A.3πB.π
C.πD.9π
(3)(2025·广州调研)已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在同一个球面上，PC⊥平面ABC，PC＝BC＝，AB＝2，且PA与平面ABC所成角的正弦值为，则该球的表面积为________.
题型二 内切球
例4已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.
思维建模1.多面体内切球的球心与半径的确定
(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.
(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.
(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.
(4)体积分割是求内切球半径的通用做法.
2.正四面体的内切球的半径r＝a，其半径是外接球半径的三分之一(a为该正四面体的棱长).
训练2如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量可得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为()
A.，4B.，3
C.6π，4D.，3
棱切球
所谓几何体的棱切球，就是几何体的棱与球都相切.
(1)解决棱切球问题的规律是：找切点，找球心，构造直角三角形.
(2)常见几何体的棱切球半径：
①设正方体的棱长为a，则其棱切球半径为a(如图1).
②设正四面体的棱长为a，则其棱切球半径为a，(将边长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的各个面的对角线顺次连接即可得一个边长为a的正四面体B－A1DC1，显然正四面体B－A1DC1的棱切球就是正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，如图2).
典例(1)已知某棱长为2的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为()
A.B.
C.D.
(2)(2025·宁波模拟)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝，若球O与上底面A1B1C1D1以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的表面积为()
A.9πB.16π
C.25πD.36π
训练正三棱锥P－ABC的底面边长为2，侧棱长为2，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为()
A.πB.(44－16)π
C.πD.32π
题型分析 研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心.
题型一 外接球
角度1 定义法
例1(2025·合肥调研)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝45°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积是()
A.14πB.16π
C.18πD.20π
角度2 补形法
例2(1)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为________.
(2)已知平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝60°.若沿对角线AC将△ABC折起到△B′AC的位置，使得B′D＝，则此时三棱锥B′－ACD的外接球的体积大小是________.
(3)(2025·湘豫名校联考)已知三棱锥P－ABC中，PB⊥平面ABC，PB＝2，AC＝6，∠ABC＝120°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为________.
思维建模1.正方体与球的切、接常用结论(正方体的棱长为a，球的半径为R)
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
2.若长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
3.正四面体的外接球的半径R＝a(a为该正四面体的棱长).
4.补形法的解题策略
(1)侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
(2)有一条侧棱与底面垂直的棱锥补成直棱柱求解.
角度3 借助三角形外心确定球心位置
例3(2025·湖州模拟)在三棱锥P－ABC中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，△PAC是边长为2的正三角形，二面角P－AC－B的大小为150°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为()
A.B.
C.D.
思维建模先过棱锥某个面(一般选取直角三角形、正三角形、矩形等)的外接圆圆心作该面的垂线，则球心一定在该垂线上，再根据球心到棱锥各个顶点的距离相等，结合勾股定理构建等式，确定球心及半径，这是解决此类问题的常规思路.
训练1(1)(2025·安徽皖江名校联考)在△ABC中，BC＝6，AB＋AC＝8，E，F，G分别为三边BC，CA，AB的中点，将△AFG，△BEG，△CEF分别沿FG，EG，EF向上折起，使得A，B，C三点重合，记为点P，则三棱锥P－EFG的外接球表面积的最小值为()
A.B.
C.D.
(2)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝PB＝PC＝AB＝，∠ACB＝，则球O的体积为()
A.3πB.π
C.πD.9π
(3)(2025·广州调研)已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在同一个球面上，PC⊥平面ABC，PC＝BC＝，AB＝2，且PA与平面ABC所成角的正弦值为，则该球的表面积为________.
题型二 内切球
例4已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.
思维建模1.多面体内切球的球心与半径的确定
(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.
(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.
(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.
(4)体积分割是求内切球半径的通用做法.
2.正四面体的内切球的半径r＝a，其半径是外接球半径的三分之一(a为该正四面体的棱长).
训练2如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量可得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为()
A.，4B.，3
C.6π，4D.，3
棱切球
所谓几何体的棱切球，就是几何体的棱与球都相切.
(1)解决棱切球问题的规律是：找切点，找球心，构造直角三角形.
(2)常见几何体的棱切球半径：
①设正方体的棱长为a，则其棱切球半径为a(如图1).
②设正四面体的棱长为a，则其棱切球半径为a，(将边长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的各个面的对角线顺次连接即可得一个边长为a的正四面体B－A1DC1，显然正四面体B－A1DC1的棱切球就是正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，如图2).
典例(1)已知某棱长为2的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为()
A.B.
C.D.
(2)(2025·宁波模拟)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝，若球O与上底面A1B1C1D1以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的表面积为()
A.9πB.16π
C.25πD.36π
训练正三棱锥P－ABC的底面边长为2，侧棱长为2，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为()
A.πB.(44－16)π
C.πD.32π
