第2节 两直线的位置关系（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第2节 两直线的位置关系
课标要求1.能根据斜率判定两条直线的平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【知识梳理】
1.两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
________________
________________
垂直
________________
________________
相交
________________
________________
2.直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的________坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
方程组的解
一组
无数组
______
直线l1与l2的公共点的个数
一个
______
零个
直线l1与l2的位置关系
____
重合
______
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝________________.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝________.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝________.
[常用结论与微点提醒]
1.四种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y).
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y).
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y).
(4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).
2.若直线l1∥l2，则k1＝k2或者k1，k2都不存在；若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1或者k1，k2一个为0，一个不存在.
3.应用点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中的直线的方程必须是一般式.特别地，在两平行线的距离公式中，两直线方程的一般式中x，y的系数必须对应相等.
【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.()
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()
2.(人教A选修一P102T1(3)改编)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为()
A.3x＋4y－5＝0B.3x＋4y＋5＝0
C.3x－4y＋5＝0D.3x－4y－5＝0
3.(苏教选修一P27T2改编)以点A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.无法判断
4.(人教B选修一P100T2改编)已知点B(m，6)到直线y＝3x＋6的距离为3，则实数m的值为________.
考点一 两直线的平行与垂直
例1已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
思维建模1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
训练1(1)设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
(2)(2025·宁波质检)若a，b为正实数，直线2x＋(2a－4)y＋1＝0与直线2bx＋y－2＝0互相垂直，则ab的最大值为________.
考点二 两直线的交点与距离问题
例2(1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是()
A.2x－3y＋5＝0B.2x＋3y－1＝0
C.3x＋2y－2＝0D.3x＋2y＋1＝0
(2)(2025·九省联考)已知Q为直线l：x＋2y＋1＝0上的动点，点P满足＝(1，－3)，记P的轨迹为E，则()
A.E是一个半径为的圆
B.E是一条与l相交的直线
C.E上的点到l的距离均为
D.E是两条平行直线
思维建模1.求过两直线交点的直线方程的方法：①先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；②利用直线系方程求解.
2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
训练2(1)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()
A.1B.
C.D.2
(2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是______.
直线系方程
1.所谓直线系方程，是指满足某种特征的直线方程的全体.在求与已知直线平行或垂直的直线方程，或过两已知直线交点的直线方程时，利用相应的直线系方程能简化解题过程，提高解题效率.
2.直线系方程的设法
(1)过点(x0，y0)的直线系方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(其中A，B不全为零)；
(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)；
(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程Bx－Ay＋C0＝0；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.<...
课标要求1.能根据斜率判定两条直线的平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【知识梳理】
1.两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
________________
________________
垂直
________________
________________
相交
________________
________________
2.直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的________坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
方程组的解
一组
无数组
______
直线l1与l2的公共点的个数
一个
______
零个
直线l1与l2的位置关系
____
重合
______
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝________________.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝________.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝________.
[常用结论与微点提醒]
1.四种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y).
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y).
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y).
(4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).
2.若直线l1∥l2，则k1＝k2或者k1，k2都不存在；若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1或者k1，k2一个为0，一个不存在.
3.应用点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中的直线的方程必须是一般式.特别地，在两平行线的距离公式中，两直线方程的一般式中x，y的系数必须对应相等.
【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.()
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()
2.(人教A选修一P102T1(3)改编)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为()
A.3x＋4y－5＝0B.3x＋4y＋5＝0
C.3x－4y＋5＝0D.3x－4y－5＝0
3.(苏教选修一P27T2改编)以点A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.无法判断
4.(人教B选修一P100T2改编)已知点B(m，6)到直线y＝3x＋6的距离为3，则实数m的值为________.
考点一 两直线的平行与垂直
例1已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
思维建模1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
训练1(1)设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
(2)(2025·宁波质检)若a，b为正实数，直线2x＋(2a－4)y＋1＝0与直线2bx＋y－2＝0互相垂直，则ab的最大值为________.
考点二 两直线的交点与距离问题
例2(1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是()
A.2x－3y＋5＝0B.2x＋3y－1＝0
C.3x＋2y－2＝0D.3x＋2y＋1＝0
(2)(2025·九省联考)已知Q为直线l：x＋2y＋1＝0上的动点，点P满足＝(1，－3)，记P的轨迹为E，则()
A.E是一个半径为的圆
B.E是一条与l相交的直线
C.E上的点到l的距离均为
D.E是两条平行直线
思维建模1.求过两直线交点的直线方程的方法：①先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；②利用直线系方程求解.
2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
训练2(1)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()
A.1B.
C.D.2
(2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是______.
直线系方程
1.所谓直线系方程，是指满足某种特征的直线方程的全体.在求与已知直线平行或垂直的直线方程，或过两已知直线交点的直线方程时，利用相应的直线系方程能简化解题过程，提高解题效率.
2.直线系方程的设法
(1)过点(x0，y0)的直线系方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(其中A，B不全为零)；
(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)；
(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程Bx－Ay＋C0＝0；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.<...
