第2节 单调性与最大（小）值

课标要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.



【知识梳理】

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义



增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果?x1，x2∈D



当x1＜x2时，都有________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数

当x1＜x2时，都有________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数

图象描述



自左向右看图象

是上升的



自左向右看图象

是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上____________或____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

(1)?x∈I，都有____________；

(2)?x0∈I，使得

____________

(1)?x∈I，都有

____________；

(2)?x0∈I，使得

____________

结论

M为最大值

M为最小值

[常用结论与微点提醒]

1.有关单调性的常用结论

在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.

2.函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)对于函数y＝f(x)，若f(1)0，且a≠1，函数f(x)＝在R上单调，则a的取值范围是()

A.(1，＋∞)B.

C.D.











思维建模1.比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

2.求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.

3.利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

训练3(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是()

A.(－∞，0]B.[－1，0]

C.[－1，1]D.[0，＋∞)











(2)已知函数f(x)＝若f(3－a2)










复合函数的单调性

1.复合函数单调性判定原则：同增异减.

2.设复合函数y＝f[g(x)]，A是y＝f[g(x)]定义域的某个区间，B是u＝g(x)的值域；

(1)若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，y＝f(u)在B上也是增(或减)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是增函数；

(2)若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，而y＝f(u)在B上是减(或增)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是减函数.

一、求复合函数的单调区间

例1已知函数f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝f(5－x2)，试求g(x)的单调区间.



























二、由复合函数的单调性求参数

例2设f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))，F(x)＝g(x)－λf(x).问是否存在实数λ，使F(x)在区间上单调递减且在区间上单调递增？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.



















训练(1)已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是()

A.y＝－f(x)在R上是减函数

B.y＝在R上是减函数

C.y＝[f(x)]2在R上是增函数

D.y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数

(2)已知函数f(x)是R上的减函数，若f(ax2－2x)在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.