第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第2节 同角三角函数的基本关系
及诱导公式
课标要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.
2.能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
【知识梳理】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：________________.
(2)商数关系：＝tanα.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sinα
______
______
______
______
______
余弦
cosα
______
______
______
______
______
正切
tanα
______
______
______
口诀
奇变偶不变，符号看象限
[常用结论与微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；
sinα＝tanα·cosα.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()
(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()
(3)若α∈R，则tanα＝恒成立.()
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sinα＝.()
2.(湘教必修一P168例5改编)已知α是第三象限角，sinα＝－，则tanα＝()
A.－B.
C.－D.
3.(人教A必修一P195T5改编)已知sin＝，那么cosα＝()
A.－B.－
C.D.
4.(北师大必修二P24例8(3)改编)求值：sincos＋sincos＝________.
考点一 同角三角函数基本关系式
角度1 切弦互化
例1(1)(2025·济南质检)若＝，则＝()
A.－B.
C.－D.
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈(0，)，tanθ＝，则sinθ－cosθ＝________.
思维建模同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可实现角α的弦切互化.
(2)当分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式时，往往转化为关于tanα的式子求解.
角度2“和”“积”转换
例2(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝，则下列结论正确的是()
A.sinθ＝B.cosθ＝－
C.tanθ＝－D.sinθ－cosθ＝
思维建模正弦、余弦“sinα±cosα，sinαcosα”的应用：
sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝，sinαcosα＝.
训练1(1)已知x∈，sin4x＋cos4x＝，则sinx－cosx＝()
A.B.－
C.D.－
(2)(2025·徐州调研)若θ∈，＝，则tanθ＝________.
考点二 诱导公式
例3(1)已知cos＝a(|a|≤1)，则
cos＋sin＝________.
(2)化简：＝________.
思维建模1.诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π内的角的三角函数锐角三角函数.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
训练2(1)已知α∈R，则下列等式恒成立的是()
A.sin(3π－α)＝－sinαB.sin＝－cos
C.cos＝sin3αD.cos＝－sin2α
(2)求值：tan780°cos(－1140°)－sin1560°·cos(－1050°)＝________.
考点三 基本关系式和诱导公式的综合应用
例4已知f(α)＝
.
(1)化简f(α)；
(2)若f(－α)＝，求cos2(＋α)＋cos(＋α)的值.
思维建模1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数符号的影响.
训练3(1)(2025·丽水模拟)已知sin(＋α)＝，那么tan(－α)＝()
A.－B.±2
C.D.2
(2)(2024·衡水模拟)已知sin＋cos(π－α)＝sinα，则2sin2α－sinαcosα＝()
A.B.
C.D.2
及诱导公式
课标要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.
2.能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
【知识梳理】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：________________.
(2)商数关系：＝tanα.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sinα
______
______
______
______
______
余弦
cosα
______
______
______
______
______
正切
tanα
______
______
______
口诀
奇变偶不变，符号看象限
[常用结论与微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；
sinα＝tanα·cosα.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()
(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()
(3)若α∈R，则tanα＝恒成立.()
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sinα＝.()
2.(湘教必修一P168例5改编)已知α是第三象限角，sinα＝－，则tanα＝()
A.－B.
C.－D.
3.(人教A必修一P195T5改编)已知sin＝，那么cosα＝()
A.－B.－
C.D.
4.(北师大必修二P24例8(3)改编)求值：sincos＋sincos＝________.
考点一 同角三角函数基本关系式
角度1 切弦互化
例1(1)(2025·济南质检)若＝，则＝()
A.－B.
C.－D.
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈(0，)，tanθ＝，则sinθ－cosθ＝________.
思维建模同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可实现角α的弦切互化.
(2)当分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式时，往往转化为关于tanα的式子求解.
角度2“和”“积”转换
例2(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝，则下列结论正确的是()
A.sinθ＝B.cosθ＝－
C.tanθ＝－D.sinθ－cosθ＝
思维建模正弦、余弦“sinα±cosα，sinαcosα”的应用：
sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝，sinαcosα＝.
训练1(1)已知x∈，sin4x＋cos4x＝，则sinx－cosx＝()
A.B.－
C.D.－
(2)(2025·徐州调研)若θ∈，＝，则tanθ＝________.
考点二 诱导公式
例3(1)已知cos＝a(|a|≤1)，则
cos＋sin＝________.
(2)化简：＝________.
思维建模1.诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π内的角的三角函数锐角三角函数.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
训练2(1)已知α∈R，则下列等式恒成立的是()
A.sin(3π－α)＝－sinαB.sin＝－cos
C.cos＝sin3αD.cos＝－sin2α
(2)求值：tan780°cos(－1140°)－sin1560°·cos(－1050°)＝________.
考点三 基本关系式和诱导公式的综合应用
例4已知f(α)＝
.
(1)化简f(α)；
(2)若f(－α)＝，求cos2(＋α)＋cos(＋α)的值.
思维建模1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数符号的影响.
训练3(1)(2025·丽水模拟)已知sin(＋α)＝，那么tan(－α)＝()
A.－B.±2
C.D.2
(2)(2024·衡水模拟)已知sin＋cos(π－α)＝sinα，则2sin2α－sinαcosα＝()
A.B.
C.D.2
