（数学）吉林省友好学校2024-2025学年高一下学期第79届期中联考试卷 人教版
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友好学校第79届期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知为实数，（为虚数单位），则（）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知向量，，若，则（）
A．2B．C．3D．
3．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）
A．4B．C．D．
4．在，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则角为（）
A．B．或C．D．或
5．已知，且，则向量在向量上的投影向量为（）
A．B．C．D．
6．“景德镇大碗”，正式名称为景德镇昌南里文化艺术中心，其设计灵感来源于宋代湖田窑影青斗笠碗，造型庄重典雅，象征着“万瓷之母”.大碗高，底部直径，口部直径.若将其视为圆台，请估计该“世界第一大碗”的容积（单位：）是（）
A．B．C．D．
7．如图，地平面上有一根旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB=20m，在A处测得点P的仰角∠OAP=30°，在B处测得点P的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，则旗杆的高度为（）
A．20（）mB．m
C．mD．10（）m
8．如图，在等腰梯形中，，，，若分别是边上的点，且，，则（）
A．B．C．D．5
二、多选题
9．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）
A．
B．复数的虚部为
C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D．若复数是关于的方程的一个根，则
10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱?圆锥?球的体积之比为
11．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列各式正确的是（）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知向量，，则=
13．已知向量，满足，，，则
14．已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为
四、解答题
15．已知向量，.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若向量与垂直，求实数的值.
16．已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为．
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若复数是实数，求实数的值；
17．已知在正方体中，截下一个四棱锥，为棱中点，为棱的中点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求四棱锥的表面积．
18．在中，角所对的边分别为．已知，．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
19．梯形中，，，，．
(1)求；
(2)若的面积为8，求的长．
吉林省友好学校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
C
A
A
C
C
ACD
ACD
题号
11
答案
ACD
1．B
【详解】因，则由复数相等的定义可得：.
故选：B
2．B
【详解】若，则，解得.
故选：B.
3．B
【详解】还原直观图为原图形，如图所示，
因为，所以，
还原回原图形后，，
所以原图形面积为.
故选：B
4．C
【详解】因为，，，
根据正弦定理，则，
得，，
所以或，
因为，所以，
所以.
故选：C
5．A
【详解】向量在向量上的投影向量为，
故选：A.
6．A
【详解】依题意，所求容积为（）.
故选：A
7．C
【详解】由已知，得，则在中，由余弦定理，得，即，得.
故选：C．
8．C
【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，，
所以，，又，，
所以，，
则，
，
所以，
故选：C.
9．ACD
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，故复数的虚部为，B错误；
C选项，由题意，又，则向量，
故向量对应的复数为，C正确；
D选项，若复数是关于的方程的一个根，
则，故和均为方程的根，
故，
所以，
故，，，D正确.
故选：ACD
10．ACD
【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，
A项，圆柱的侧面积为，故A正确；
B项，圆锥的母线长为，
所以，圆锥的侧面积为，故B错误；
C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；
D项，圆柱的体积为，
圆锥的体积为，
球的体积为，
因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【详解】对于A，由题意得，即，故A正确，
对于B，由是的重心，设为的中点，
可得，
所以，故B错误，
对于C，过的外心分别作，的垂线，
垂足为，如图，连接，
因为，，且在中，
所以是的中点，同理可得是的中点，
所以
，
，故C正确，
对于D，因为是的重心，所以，
所以，
，而由欧拉线定理可得，
所以，故D正确，
故选：ACD.
12．5
【详解】因为向量...
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知为实数，（为虚数单位），则（）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知向量，，若，则（）
A．2B．C．3D．
3．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）
A．4B．C．D．
4．在，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则角为（）
A．B．或C．D．或
5．已知，且，则向量在向量上的投影向量为（）
A．B．C．D．
6．“景德镇大碗”，正式名称为景德镇昌南里文化艺术中心，其设计灵感来源于宋代湖田窑影青斗笠碗，造型庄重典雅，象征着“万瓷之母”.大碗高，底部直径，口部直径.若将其视为圆台，请估计该“世界第一大碗”的容积（单位：）是（）
A．B．C．D．
7．如图，地平面上有一根旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB=20m，在A处测得点P的仰角∠OAP=30°，在B处测得点P的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，则旗杆的高度为（）
A．20（）mB．m
C．mD．10（）m
8．如图，在等腰梯形中，，，，若分别是边上的点，且，，则（）
A．B．C．D．5
二、多选题
9．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）
A．
B．复数的虚部为
C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D．若复数是关于的方程的一个根，则
10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱?圆锥?球的体积之比为
11．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列各式正确的是（）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知向量，，则=
13．已知向量，满足，，，则
14．已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为
四、解答题
15．已知向量，.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若向量与垂直，求实数的值.
16．已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为．
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若复数是实数，求实数的值；
17．已知在正方体中，截下一个四棱锥，为棱中点，为棱的中点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求四棱锥的表面积．
18．在中，角所对的边分别为．已知，．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
19．梯形中，，，，．
(1)求；
(2)若的面积为8，求的长．
吉林省友好学校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
C
A
A
C
C
ACD
ACD
题号
11
答案
ACD
1．B
【详解】因，则由复数相等的定义可得：.
故选：B
2．B
【详解】若，则，解得.
故选：B.
3．B
【详解】还原直观图为原图形，如图所示，
因为，所以，
还原回原图形后，，
所以原图形面积为.
故选：B
4．C
【详解】因为，，，
根据正弦定理，则，
得，，
所以或，
因为，所以，
所以.
故选：C
5．A
【详解】向量在向量上的投影向量为，
故选：A.
6．A
【详解】依题意，所求容积为（）.
故选：A
7．C
【详解】由已知，得，则在中，由余弦定理，得，即，得.
故选：C．
8．C
【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，，
所以，，又，，
所以，，
则，
，
所以，
故选：C.
9．ACD
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，故复数的虚部为，B错误；
C选项，由题意，又，则向量，
故向量对应的复数为，C正确；
D选项，若复数是关于的方程的一个根，
则，故和均为方程的根，
故，
所以，
故，，，D正确.
故选：ACD
10．ACD
【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，
A项，圆柱的侧面积为，故A正确；
B项，圆锥的母线长为，
所以，圆锥的侧面积为，故B错误；
C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；
D项，圆柱的体积为，
圆锥的体积为，
球的体积为，
因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【详解】对于A，由题意得，即，故A正确，
对于B，由是的重心，设为的中点，
可得，
所以，故B错误，
对于C，过的外心分别作，的垂线，
垂足为，如图，连接，
因为，，且在中，
所以是的中点，同理可得是的中点，
所以
，
，故C正确，
对于D，因为是的重心，所以，
所以，
，而由欧拉线定理可得，
所以，故D正确，
故选：ACD.
12．5
【详解】因为向量...
