福建省福州市2024届高三数学下学期第十六次检测三模试题含解析word版 人教版
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2023-2024学年高三第十六次质量检测
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的展开式中的系数为，则（）
A.2B.C.4D.
2.设是等比数列的前项和，若，则（）
A.2B.C.D.
3.某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，则下列说法错误的是（）
A.若该八名选手成绩的第百分位数为，则
B.若该八名选手成绩的众数仅为，则
C.若该八名选手成绩的极差为，则
D.若该八名选手成绩的平均数为，则
4.在中，，，，则的面积为（）
AB.C.D.
5.已知，则（）
A.0B.C.D.1
6.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（）
AB.C.D.
7.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（）
A.B.
C.D.
8.曲线是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线关于轴、轴均对称；
②曲线上存在点，使得；
③若点在曲线上，则的面积最大值是1；
④曲线上存在点，使得钝角.
其中所有正确结论的序号是（）
A.②③④B.②③C.③④D.①②③④
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数的部分图象如图所示，则（）
A.的最小正周期为
B.当时，的值域为
C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
10.已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（）
A.若，则与均为实数B.若与均为实数，则
C.若均为纯虚数，则为实数D.若为实数，则均为纯虚数
11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则（）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，若，则的最小值为__________．
13.已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．
14.已知棱长为8正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数．
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）若，求实数的取值范围．
16.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.
17.如图，在正四棱台中，.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值.
18.某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.
性别
就餐区域
合计
南区
北区
男
33
10
43
女
38
7
45
合计
71
17
88
（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，.
0.100
0.050
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第（）天他去甲餐厅用餐的概率.
附：，；
19.已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.
（1）判断函数否具有性质；（直接写出结论）
（2）已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：.
福州三中2023-2024学年高三第十六次质量检测
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的展开式中的系数为，则（）
A.2B.C.4D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出展开式的通项，再令，即可求出展开式中的系数，从而得解.
【详解】二项式展开式的通项为（其中且），
令可得，
所以，解得.
故选：B
2.设是等比数列的前项和，若，则（）
A.2B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】成等比数列，得到方程，求出，得到答案.
【详解】由题意得，，
因为成等比数列，故，
即，解得，
故.
故选：B
3.某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，则下列说法错误的是（）
A.若该八名选手成绩的第百分位数为，则
B.若该八名选手成绩的众数仅为，则
C.若该八名选手成绩的极差为，...
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的展开式中的系数为，则（）
A.2B.C.4D.
2.设是等比数列的前项和，若，则（）
A.2B.C.D.
3.某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，则下列说法错误的是（）
A.若该八名选手成绩的第百分位数为，则
B.若该八名选手成绩的众数仅为，则
C.若该八名选手成绩的极差为，则
D.若该八名选手成绩的平均数为，则
4.在中，，，，则的面积为（）
AB.C.D.
5.已知，则（）
A.0B.C.D.1
6.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（）
AB.C.D.
7.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（）
A.B.
C.D.
8.曲线是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线关于轴、轴均对称；
②曲线上存在点，使得；
③若点在曲线上，则的面积最大值是1；
④曲线上存在点，使得钝角.
其中所有正确结论的序号是（）
A.②③④B.②③C.③④D.①②③④
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数的部分图象如图所示，则（）
A.的最小正周期为
B.当时，的值域为
C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
10.已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（）
A.若，则与均为实数B.若与均为实数，则
C.若均为纯虚数，则为实数D.若为实数，则均为纯虚数
11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则（）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，若，则的最小值为__________．
13.已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．
14.已知棱长为8正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数．
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）若，求实数的取值范围．
16.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.
17.如图，在正四棱台中，.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值.
18.某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.
性别
就餐区域
合计
南区
北区
男
33
10
43
女
38
7
45
合计
71
17
88
（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，.
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0.050
0.025
0.010
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3.841
5.024
6.635
（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第（）天他去甲餐厅用餐的概率.
附：，；
19.已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.
（1）判断函数否具有性质；（直接写出结论）
（2）已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：.
福州三中2023-2024学年高三第十六次质量检测
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的展开式中的系数为，则（）
A.2B.C.4D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出展开式的通项，再令，即可求出展开式中的系数，从而得解.
【详解】二项式展开式的通项为（其中且），
令可得，
所以，解得.
故选：B
2.设是等比数列的前项和，若，则（）
A.2B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】成等比数列，得到方程，求出，得到答案.
【详解】由题意得，，
因为成等比数列，故，
即，解得，
故.
故选：B
3.某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，则下列说法错误的是（）
A.若该八名选手成绩的第百分位数为，则
B.若该八名选手成绩的众数仅为，则
C.若该八名选手成绩的极差为，...
