黑龙江省哈尔滨市2025届高三数学上学期期中检测word版 人教版
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2024—2025学年度高三上学期期中考试
数学试题
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间为120分钟．
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷(选择题,共58分)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.函数在区间上的最小值为（）
A.B.C.D.
4．已知是单位向量，则“是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6.已知等比数列的前项和为，若，则（）
A.B.C.D.
7.菱形边长为，为平面内一动点，则的最小值为()
A.B.C.D.
8.已知函数为偶函数，且满足，当，，则的值为（）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）
函数的图象关于点对称
C．将向左平移个单位长度，得到函数
D．若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是
10．设正实数满足，则（）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
11.已知函数,则下列说法中正确的是（）
A.方程有一个解
B.若有两个零点，则
C.若存在极小值和极大值，则
D.若有两个不同零点，恒成立，则
第Ⅱ卷(非选择题,共92分)
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的高度为.
13．已知某种科技产品的利润率为，预计5年内与时间月满足函数关系式其中为非零常数.若经过12个月，利润率为，经过24个月，利润率为，那么当利润率达到以上，至少需要经过________________个月用整数作答，参考数据：
14.已知为单位向量，满足，则的最小值为
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题13分）
在△ABC中，分别为角所对的边，且
(1)求角B.
(2)若，求△ABC周长的最大值.
16.（本小题15分）
已知数列满足
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和．
（本小题15分）
行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数．
(1)求的对称轴方程及在上的单调递增区间；
(2)在锐角中，已知,，，求
18.（本小题17分）
已知数列满足（）.
(1)记（），证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)设（），且数列的前项和为，求证：（）.
（本小题17分）
已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的范围；
(3)若在内有两个不同零点，求证：
数学答案
单选题
D2.D3.A4.A5.D6.B7.D8.C
多选题
AC10.ABD11.ACD
填空题
12.13.4014.
四、解答题
15.（1）即
∵
∴，又
∴
由可得，
，
∵∴
∴
∵
∴的最大值为
(1)
当时，
两式相减，得，即.
又当时，符合题意，所以.
(2)由（1）得，所以，则，
所以
两式相减得：，
所以．
17.（1）
，
由，得，
所以的对称轴为.
由，，所以单调递增区间为
（2）由（1）知，，则，
由，得，则，解得，
因为中，，则为锐角，
所以，
因为，，所以，
所以，
设，则，
在和中，由正弦定理得，，
因为，上面两个等式相除可得，
得，即，
所以.
18.（1）证明：
，
又，
所以，数列为以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，又，.
设，则，
设，，
，，
故.
（3），
，
所以欲证，只需证，
即证.
设，
，故在上单调递减，，
时，.
，得证.
19.1) a=e,fx=ex?1?sinx,f0=e?1,f'x=ex?1?cosx,f'0=e?1?1
∴y?e?1=e?1?1x
2）fx3?fx2+ln1+fx≥0.令fx=t,t3?t2+ln1+t≥0令gt=t3?t2+ln1+t,g't=3t2?2t+1t+1=3t3+t2?2t+1t+1，当t≥0,g't≥0∴gt在0,+∞单调递增，当∴gt≥0解集为t≥0∴ex?lna?s...
数学试题
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间为120分钟．
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷(选择题,共58分)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.函数在区间上的最小值为（）
A.B.C.D.
4．已知是单位向量，则“是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6.已知等比数列的前项和为，若，则（）
A.B.C.D.
7.菱形边长为，为平面内一动点，则的最小值为()
A.B.C.D.
8.已知函数为偶函数，且满足，当，，则的值为（）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）
函数的图象关于点对称
C．将向左平移个单位长度，得到函数
D．若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是
10．设正实数满足，则（）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
11.已知函数,则下列说法中正确的是（）
A.方程有一个解
B.若有两个零点，则
C.若存在极小值和极大值，则
D.若有两个不同零点，恒成立，则
第Ⅱ卷(非选择题,共92分)
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的高度为.
13．已知某种科技产品的利润率为，预计5年内与时间月满足函数关系式其中为非零常数.若经过12个月，利润率为，经过24个月，利润率为，那么当利润率达到以上，至少需要经过________________个月用整数作答，参考数据：
14.已知为单位向量，满足，则的最小值为
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题13分）
在△ABC中，分别为角所对的边，且
(1)求角B.
(2)若，求△ABC周长的最大值.
16.（本小题15分）
已知数列满足
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和．
（本小题15分）
行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数．
(1)求的对称轴方程及在上的单调递增区间；
(2)在锐角中，已知,，，求
18.（本小题17分）
已知数列满足（）.
(1)记（），证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)设（），且数列的前项和为，求证：（）.
（本小题17分）
已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的范围；
(3)若在内有两个不同零点，求证：
数学答案
单选题
D2.D3.A4.A5.D6.B7.D8.C
多选题
AC10.ABD11.ACD
填空题
12.13.4014.
四、解答题
15.（1）即
∵
∴，又
∴
由可得，
，
∵∴
∴
∵
∴的最大值为
(1)
当时，
两式相减，得，即.
又当时，符合题意，所以.
(2)由（1）得，所以，则，
所以
两式相减得：，
所以．
17.（1）
，
由，得，
所以的对称轴为.
由，，所以单调递增区间为
（2）由（1）知，，则，
由，得，则，解得，
因为中，，则为锐角，
所以，
因为，，所以，
所以，
设，则，
在和中，由正弦定理得，，
因为，上面两个等式相除可得，
得，即，
所以.
18.（1）证明：
，
又，
所以，数列为以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，又，.
设，则，
设，，
，，
故.
（3），
，
所以欲证，只需证，
即证.
设，
，故在上单调递减，，
时，.
，得证.
19.1) a=e,fx=ex?1?sinx,f0=e?1,f'x=ex?1?cosx,f'0=e?1?1
∴y?e?1=e?1?1x
2）fx3?fx2+ln1+fx≥0.令fx=t,t3?t2+ln1+t≥0令gt=t3?t2+ln1+t,g't=3t2?2t+1t+1=3t3+t2?2t+1t+1，当t≥0,g't≥0∴gt在0,+∞单调递增，当∴gt≥0解集为t≥0∴ex?lna?s...
