湖北省2024-2025学年高二数学上学期期中联考试卷word版 人教版
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文件简介::
试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设复数，则的虚部为（）
A.2iB.C.2D.-2
2.已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（）
A.B.C.D.
3.已知，则在方向上的投影向量的坐标为（）
A.B.C.D.
4.圆与圆的公共弦长为
A.B.C.D.
5.已知平面向量满足.则向量与向量的夹角为（）
A.B.C.D.
6.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件“摸出的两个球的编号都大于3”，事件“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（）
A.事件与事件是相互独立事件B.事件与事件是对立事件
C.事件与事件是互斥事件D.事件与事件是互斥事件
7.如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（）
A.B.C.D.
8.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9.下列说法不正确的是（）
A.若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
B.不与坐标轴平行或重合的直线，其方程一定可以写成两点式
C.是直线与直线垂直的充要条件
D.是直线与直线平行的充要条件
10.如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（）
A.的最小值为
B.当与垂直时，直线与平面ABCD所成的角的正切值为
C.三棱锥体积的最小值为
D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
11.已知曲线，点为曲线上任意一点，则（）
A.曲线的图象表示两个圆B.的最大值是
C.的取值范围是D.直线与曲线有且仅有2个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为______.
13.在平面直角坐标系Oxy中，圆上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围为______.
14.已知实数满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中，已知点边上的高线所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为.
（1）求直线AC的方程；
（2）求直线AB的方程.
16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求；
（2）若的面积为，求BC边上中线的长.
17.黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组[50，60），第二组[60，70）．第三组，第四组，第五组[90，100]绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
（1）求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差；
（3）甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.
18.如图，在四棱锥中，为等边三角形，，为AD的中点.
（1）求证：平面平面ABCD；
（2）若点E在线段PC上运动（不包括端点），设平面平面，当直线与平面BEF所成角取最大值时，求平面BEF与平面CEF夹角的余弦值.
19.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点；
（3）当点在曲线上运动时，求的最小值.
高二数学参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
B
D
C
A
D
A
B
ACD
ABC
ACD
12.或13.14.
部分小题详解：
7.依题意，，在四棱台中，
，设，则四点共面，
.
8.依题意，平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，设直线的方向向量为，则有，令.
10.对A，将平面和平面DMN展开到一个平面内，的最小值即点和D点连线的距离，，故选项A正确；
对B，如图，令中点为中点为，连接MN，
又正方体中，为棱的中点，可得，
平面平面，又，
且平面平面平面，
又平面，且平面平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，即的轨迹为线段与平面ABCD所成的角即与平面所成的角，F点到平面的距离为点在平面的射影P在上靠近点的四等分点，，故直线与平面ABCD所成的角的正切值为，故选项B正确；
对C，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为，所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，此时，所以体积最小值为，故选项C正确；
对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，
由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心，
，所以底面为直角三角形...
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设复数，则的虚部为（）
A.2iB.C.2D.-2
2.已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（）
A.B.C.D.
3.已知，则在方向上的投影向量的坐标为（）
A.B.C.D.
4.圆与圆的公共弦长为
A.B.C.D.
5.已知平面向量满足.则向量与向量的夹角为（）
A.B.C.D.
6.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件“摸出的两个球的编号都大于3”，事件“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（）
A.事件与事件是相互独立事件B.事件与事件是对立事件
C.事件与事件是互斥事件D.事件与事件是互斥事件
7.如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（）
A.B.C.D.
8.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9.下列说法不正确的是（）
A.若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
B.不与坐标轴平行或重合的直线，其方程一定可以写成两点式
C.是直线与直线垂直的充要条件
D.是直线与直线平行的充要条件
10.如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（）
A.的最小值为
B.当与垂直时，直线与平面ABCD所成的角的正切值为
C.三棱锥体积的最小值为
D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
11.已知曲线，点为曲线上任意一点，则（）
A.曲线的图象表示两个圆B.的最大值是
C.的取值范围是D.直线与曲线有且仅有2个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为______.
13.在平面直角坐标系Oxy中，圆上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围为______.
14.已知实数满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中，已知点边上的高线所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为.
（1）求直线AC的方程；
（2）求直线AB的方程.
16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求；
（2）若的面积为，求BC边上中线的长.
17.黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组[50，60），第二组[60，70）．第三组，第四组，第五组[90，100]绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
（1）求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差；
（3）甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.
18.如图，在四棱锥中，为等边三角形，，为AD的中点.
（1）求证：平面平面ABCD；
（2）若点E在线段PC上运动（不包括端点），设平面平面，当直线与平面BEF所成角取最大值时，求平面BEF与平面CEF夹角的余弦值.
19.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点；
（3）当点在曲线上运动时，求的最小值.
高二数学参考答案
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C
B
D
C
A
D
A
B
ACD
ABC
ACD
12.或13.14.
部分小题详解：
7.依题意，，在四棱台中，
，设，则四点共面，
.
8.依题意，平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，设直线的方向向量为，则有，令.
10.对A，将平面和平面DMN展开到一个平面内，的最小值即点和D点连线的距离，，故选项A正确；
对B，如图，令中点为中点为，连接MN，
又正方体中，为棱的中点，可得，
平面平面，又，
且平面平面平面，
又平面，且平面平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，即的轨迹为线段与平面ABCD所成的角即与平面所成的角，F点到平面的距离为点在平面的射影P在上靠近点的四等分点，，故直线与平面ABCD所成的角的正切值为，故选项B正确；
对C，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为，所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，此时，所以体积最小值为，故选项C正确；
对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，
由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心，
，所以底面为直角三角形...
