第56讲讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（六大题型）（word）（培优专题题型） 人教版
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第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
目录
01考情透视·目标导航2
02知识导图·思维引航3
03考点突破·题型探究4
知识点1：多面体的结构特征4
知识点2：简单旋转体5
知识点3：组合体5
知识点4：表面积与体积计算公式6
知识点5：空间几何体的直观图8
题型一：空间几何体的结构特征9
题型二：直观图11
题型三：展开图15
题型四：最短路径问题19
题型五：空间几何体的表面积25
题型六：空间几何体的体积28
04真题练习·命题洞见35
05课本典例·高考素材39
06易错分析·答题模板42
易错点：对斜二测画法的掌握不牢42
考点要求
考题统计
考情分析
（1）基本立体图形
（2）表面积与体积
2024年I卷第5题，5分
2024年甲卷（理）第14题，5分
2024年天津卷第9题，5分
2023年乙卷（理）第8题，5分
2023年甲卷（文）第10题，5分
2023年天津卷第8题，5分
2023年II卷第14题，5分
2023年I卷第12题，5分
（1）掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征，能够解决简单的实际问题；
（2）多面体和球体的相关计算问题是近几年考查的重点；
（3）运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果，突出考查直观想象和逻辑推理．
复习目标：
（1）认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
（2）知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题．
（3）能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
知识点1：多面体的结构特征
1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
【诊断自测】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）
A．①是棱台，②不是圆台B．②是圆台，③是棱锥
C．③是棱锥，④是棱台D．③是棱锥，④是棱柱
【答案】D
【解析】对于A：①不是棱台，因为侧面不都是平行四边形，故A错误；
对于B：②不是圆台，因为上下底面不平行，故B错误；
对于C：④是棱柱，故C错误；
对于D：③是棱锥，④是棱柱，故D正确.
故选：D
知识点2：简单旋转体
1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
【诊断自测】下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，该几何体是组合体，上、下各一个圆锥，
根据旋转体的定义，可得B项，符合题意.
故选：B.
知识点3：组合体
由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
【诊断自测】如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
【答案】B
【解析】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.
故选：B.
知识点4：表面积与体积计算公式
表面积公式
表面积
柱体
为直截面周长
锥体
台体
球
体积公式
体积
柱体
锥体
台体
球
【诊断自测】正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积与体积分别为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
如图在正六棱台中，
因为，
所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为：，
所以梯形的面积为：，
所以该正六棱台的上底面积为：，
同理下底面积为：，
所以正六棱台的表面积为：，
正六棱台的高为，
所以正六棱台的体积为：，
故选：C
知识点5：空间几何体的直观图
1、斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下：
（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．
（2）画出斜坐标...
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01考情透视·目标导航2
02知识导图·思维引航3
03考点突破·题型探究4
知识点1：多面体的结构特征4
知识点2：简单旋转体5
知识点3：组合体5
知识点4：表面积与体积计算公式6
知识点5：空间几何体的直观图8
题型一：空间几何体的结构特征9
题型二：直观图11
题型三：展开图15
题型四：最短路径问题19
题型五：空间几何体的表面积25
题型六：空间几何体的体积28
04真题练习·命题洞见35
05课本典例·高考素材39
06易错分析·答题模板42
易错点：对斜二测画法的掌握不牢42
考点要求
考题统计
考情分析
（1）基本立体图形
（2）表面积与体积
2024年I卷第5题，5分
2024年甲卷（理）第14题，5分
2024年天津卷第9题，5分
2023年乙卷（理）第8题，5分
2023年甲卷（文）第10题，5分
2023年天津卷第8题，5分
2023年II卷第14题，5分
2023年I卷第12题，5分
（1）掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征，能够解决简单的实际问题；
（2）多面体和球体的相关计算问题是近几年考查的重点；
（3）运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果，突出考查直观想象和逻辑推理．
复习目标：
（1）认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
（2）知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题．
（3）能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
知识点1：多面体的结构特征
1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
【诊断自测】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）
A．①是棱台，②不是圆台B．②是圆台，③是棱锥
C．③是棱锥，④是棱台D．③是棱锥，④是棱柱
【答案】D
【解析】对于A：①不是棱台，因为侧面不都是平行四边形，故A错误；
对于B：②不是圆台，因为上下底面不平行，故B错误；
对于C：④是棱柱，故C错误；
对于D：③是棱锥，④是棱柱，故D正确.
故选：D
知识点2：简单旋转体
1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
【诊断自测】下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，该几何体是组合体，上、下各一个圆锥，
根据旋转体的定义，可得B项，符合题意.
故选：B.
知识点3：组合体
由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
【诊断自测】如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
【答案】B
【解析】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.
故选：B.
知识点4：表面积与体积计算公式
表面积公式
表面积
柱体
为直截面周长
锥体
台体
球
体积公式
体积
柱体
锥体
台体
球
【诊断自测】正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积与体积分别为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
如图在正六棱台中，
因为，
所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为：，
所以梯形的面积为：，
所以该正六棱台的上底面积为：，
同理下底面积为：，
所以正六棱台的表面积为：，
正六棱台的高为，
所以正六棱台的体积为：，
故选：C
知识点5：空间几何体的直观图
1、斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下：
（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．
（2）画出斜坐标...
