湖南省益阳市沅江市两校联考2024-2025学年高一数学上学期11月期中试题含解析（word版） 人教版
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沅江市两校联考2024-2025学年高一数学上学期期中试题
（考试范围：必修1第一章～第四章）
时量：120分钟满分：150分
一、选择题
1.“，”的否定是（）
A.，B.，
C.，D.，
【答案】B
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，
“，”的否定是，.
故选：B
2.集合，，则（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数定义域求集合A，根据指数函数值域求集合B，然后利用集合的交集运算和补集运算求解即可.
【详解】要使函数有意义，则，解得，
所以，
又，所以，
所以.
故选：C
3.三个数的大小顺序是
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意得，，故选D.
4.若函数是上的单调函数，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数解析式知函数在上单调递减，建立不等关系解出即可.
【详解】因为函数在上单调，由在上不可能单调递增，
则函数在上不可能单调递增，故在R上单调递减，
所以，解得，所以的取值范围是.
故选：D.
5.“函数在区间上单调递增”的充分必要条件是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性可知，内层函数在上单调递减去，且对任意的，恒成立，即可求得实数的取值范围.
【详解】设，因为外层函数在上为减函数，
且函数在区间上单调递增，
所以，内层函数在上单调递减，则，
且对任意的，恒成立，即恒成立，则，
所以，
故选：C.
6.如图，点为坐标原点，点，若函数及的图象与线段分别交于点，，且，恰好是线段的两个三等分点，则，满足．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】由恰好是线段的两个三等分点，求得的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得的值，即可求解.
【详解】由题意知，且恰好是线段的两个三等分点，所以，，
把代入函数，即，解得，
把代入函数，即，即得，所以.
故选A.
【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7.已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义可得出、的方程组，解出函数的解析式，分析函数的单调性，结合可得出关于的不等式，即可得出原不等式解集.
【详解】因为①，且是奇函数，是偶函数，
则，即②，
由①②可得，
因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数，
由，可得，解得.
因此，不等式的解集是.
故选：A.
8.函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出定点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】对于函数（且），
令，可得，且，所以，，即，，
对任意的正数、都有，即，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值是.
故选：D.
二、选择题
9.下列函数既是偶函数，又在区间上是减函数的是（）
AB.
C.D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据幂函数性质可判断A；根据函数奇偶性的定义以及函数的单调性可判断B；根据函数奇偶性定义及复合函数的单调性法则可判断C；根据函数的奇偶性的定义可判断D.
【详解】对于A，的定义域为关于原点对称，且，
所以为奇函数，不符合题意；
对于B，设，定义域为R，满足，
即为偶函数；
当时，为减函数，符合题意；
对于C，的定义域为关于原点对称，且，
所以为偶函数；当时，为减函数，为增函数，
根据复合函数单调性法则知，在区间上是减函数，符合题意；
对于D，的定义域为关于原点对称，且，
所以为奇函数，不符合题意.
故选：BC
10.下列叙述正确的是（）
A.当时，
B.当时，的最小值是5
C.函数的最大值是0
D.函数在区间上单调递增，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式求最值判断ABC，利用单调性的定义和性质求解参数范围判断D.
【详解】对于A，当时，，
当且仅当，即时，等号成立，正确；
对于B，因为，则，所以，
当且仅当即时，等号成立，但是，所以等号取不到，
即，错误；
对于C，当时，，
当且仅当，即时，等号成立，正确；
对于D，当时，函数在单调递增，函数在上单调递增，
由单调性的性质知，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，任取，，
当时，，则有，
当时，，则有，
所以函数单调递减，单调递增，
所以要使函数在区间上单调递增，则，所以.
综上，，正确.
故选：ACD
11.德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（）
A.对任意，都有
B.对任意，都存在，
C.若，，则有
D.存在三个点，，，使为等腰直角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．
【详解】解：对于A选项，当，则，此时，故A选项错误；
对于B选项，当任意时，存在，则，故；当任意时，存在，则，故，故对任意，都存在，成立，故B选项正确；
（考试范围：必修1第一章～第四章）
时量：120分钟满分：150分
一、选择题
1.“，”的否定是（）
A.，B.，
C.，D.，
【答案】B
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，
“，”的否定是，.
故选：B
2.集合，，则（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数定义域求集合A，根据指数函数值域求集合B，然后利用集合的交集运算和补集运算求解即可.
【详解】要使函数有意义，则，解得，
所以，
又，所以，
所以.
故选：C
3.三个数的大小顺序是
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意得，，故选D.
4.若函数是上的单调函数，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数解析式知函数在上单调递减，建立不等关系解出即可.
【详解】因为函数在上单调，由在上不可能单调递增，
则函数在上不可能单调递增，故在R上单调递减，
所以，解得，所以的取值范围是.
故选：D.
5.“函数在区间上单调递增”的充分必要条件是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性可知，内层函数在上单调递减去，且对任意的，恒成立，即可求得实数的取值范围.
【详解】设，因为外层函数在上为减函数，
且函数在区间上单调递增，
所以，内层函数在上单调递减，则，
且对任意的，恒成立，即恒成立，则，
所以，
故选：C.
6.如图，点为坐标原点，点，若函数及的图象与线段分别交于点，，且，恰好是线段的两个三等分点，则，满足．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】由恰好是线段的两个三等分点，求得的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得的值，即可求解.
【详解】由题意知，且恰好是线段的两个三等分点，所以，，
把代入函数，即，解得，
把代入函数，即，即得，所以.
故选A.
【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7.已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义可得出、的方程组，解出函数的解析式，分析函数的单调性，结合可得出关于的不等式，即可得出原不等式解集.
【详解】因为①，且是奇函数，是偶函数，
则，即②，
由①②可得，
因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数，
由，可得，解得.
因此，不等式的解集是.
故选：A.
8.函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出定点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】对于函数（且），
令，可得，且，所以，，即，，
对任意的正数、都有，即，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值是.
故选：D.
二、选择题
9.下列函数既是偶函数，又在区间上是减函数的是（）
AB.
C.D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据幂函数性质可判断A；根据函数奇偶性的定义以及函数的单调性可判断B；根据函数奇偶性定义及复合函数的单调性法则可判断C；根据函数的奇偶性的定义可判断D.
【详解】对于A，的定义域为关于原点对称，且，
所以为奇函数，不符合题意；
对于B，设，定义域为R，满足，
即为偶函数；
当时，为减函数，符合题意；
对于C，的定义域为关于原点对称，且，
所以为偶函数；当时，为减函数，为增函数，
根据复合函数单调性法则知，在区间上是减函数，符合题意；
对于D，的定义域为关于原点对称，且，
所以为奇函数，不符合题意.
故选：BC
10.下列叙述正确的是（）
A.当时，
B.当时，的最小值是5
C.函数的最大值是0
D.函数在区间上单调递增，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式求最值判断ABC，利用单调性的定义和性质求解参数范围判断D.
【详解】对于A，当时，，
当且仅当，即时，等号成立，正确；
对于B，因为，则，所以，
当且仅当即时，等号成立，但是，所以等号取不到，
即，错误；
对于C，当时，，
当且仅当，即时，等号成立，正确；
对于D，当时，函数在单调递增，函数在上单调递增，
由单调性的性质知，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，任取，，
当时，，则有，
当时，，则有，
所以函数单调递减，单调递增，
所以要使函数在区间上单调递增，则，所以.
综上，，正确.
故选：ACD
11.德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（）
A.对任意，都有
B.对任意，都存在，
C.若，，则有
D.存在三个点，，，使为等腰直角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．
【详解】解：对于A选项，当，则，此时，故A选项错误；
对于B选项，当任意时，存在，则，故；当任意时，存在，则，故，故对任意，都存在，成立，故B选项正确；