湖南省邵阳市武冈市2025届高三数学上学期期中试题含解析（word版） 人教版
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2024年下学期期中考试试卷
高三数学
注意事项：
1．本试卷考试时量120分钟，满分150分；
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
3．请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.设集合，，则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题知，，再求集合交集运算即可.
【详解】解：因为，所以，即，
因为，解得，所以，
所以，.
故选：D
2.复数在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为
，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B
3.已知则（）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对数的定义及对数运算法则计算即得.
【详解】依题意，
由，得，则，，
所以.
故选：D
4.若向量满足，则（）
A.B.C.2D.3
【答案】A
【解析】
【分析】由已知结合向量数量积的性质即可求解．
【详解】因为向量，满足，，，
所以，即，
所以，则．
故选：A．
5.已知，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.
【详解】因为，
所以
.
故选：C
6.已知在四边形中，，，，则的长为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，由正弦定理求得，再在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】在中，由，且，可得，
由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得，
所以．
故选：D.
7.已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求.
【详解】因为，且，则，
由题意可得：，解得，
又因为直线为函数图象的一条对称轴，
则，解得，
可知，即，
所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：以为整体，可得，结合正弦函数零点分析可知右端点的取值范围，进而可得的取值范围.
8.已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】将四面体放入长方体中，求解长方体的长宽高，求解外接球的半径，判断的轨迹，然后求解即可．
【详解】将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，，，
依题意，可知，，
则，，，解得，，
由于，即异面直线和的距离为，
由于长方体的左右侧面为正方形，所以，
取中点，连接，则左侧面，在左侧面，所以，
又平面，故平面，
四面体外接球半径为，球心为，
由，知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，圆心为，
过作球的一个轴截面，
所以，且，
，且，
解得，
所以的轨迹长度为．
故选：D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9若，则（）
A.B.
C.D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A、B：利用作差法分析判断；对C、D：根据基本不等式分析判断.
【详解】对A、B：∵，则，
∴，即，，A、B正确；
对C∵，例如，则，显然不满足，C错误；
对D：∵，则，
∴，D正确.
故选：ABD.
10.如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（）
A.若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为
B.若AP=，则点P的轨迹长度为
C.若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是
D.若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可得点Р的轨迹是线段，即可判断AB，建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算即可判断C，结合条件可得外接球的半径，即可判断D
【详解】
分别取棱，的中点M，N，连接，
易证，，
平面，平面，所以平面，
且平面，平面，所以平面，
又平面，则平面平面，
因为平面，且P是正方形内的动点，
所以点Р的轨迹是线段.
因为，所以，因为，所以，
故A正确.
因为，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆，
则点Р的轨迹长度为，则B错误.
以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图1所示的空间直角坐标系.
由题中数据可知则，，.
设平面CEF的法向量为，则，得.
设直线AР与平面CEF所成的角为，则.
因为，所以，所以，
所以，则，故C正确.
Р是棱的中点，则外接圆的圆心为正方形的中心，半径为2.
如图2，设，则三棱锥的外接球的半径满足，解得，
从而三棱锥P-CEF的外接球的表面积是，故D正确.
故选：ACD
11.已知数列的前项和为，且，若，则（）
A.是等比数列B.是等比数列
C.是等差数列D.是等差数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合等比数列的定义和等差数列的定义及判定方法...
高三数学
注意事项：
1．本试卷考试时量120分钟，满分150分；
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
3．请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.设集合，，则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题知，，再求集合交集运算即可.
【详解】解：因为，所以，即，
因为，解得，所以，
所以，.
故选：D
2.复数在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为
，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B
3.已知则（）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对数的定义及对数运算法则计算即得.
【详解】依题意，
由，得，则，，
所以.
故选：D
4.若向量满足，则（）
A.B.C.2D.3
【答案】A
【解析】
【分析】由已知结合向量数量积的性质即可求解．
【详解】因为向量，满足，，，
所以，即，
所以，则．
故选：A．
5.已知，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.
【详解】因为，
所以
.
故选：C
6.已知在四边形中，，，，则的长为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，由正弦定理求得，再在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】在中，由，且，可得，
由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得，
所以．
故选：D.
7.已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求.
【详解】因为，且，则，
由题意可得：，解得，
又因为直线为函数图象的一条对称轴，
则，解得，
可知，即，
所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：以为整体，可得，结合正弦函数零点分析可知右端点的取值范围，进而可得的取值范围.
8.已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】将四面体放入长方体中，求解长方体的长宽高，求解外接球的半径，判断的轨迹，然后求解即可．
【详解】将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，，，
依题意，可知，，
则，，，解得，，
由于，即异面直线和的距离为，
由于长方体的左右侧面为正方形，所以，
取中点，连接，则左侧面，在左侧面，所以，
又平面，故平面，
四面体外接球半径为，球心为，
由，知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，圆心为，
过作球的一个轴截面，
所以，且，
，且，
解得，
所以的轨迹长度为．
故选：D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9若，则（）
A.B.
C.D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A、B：利用作差法分析判断；对C、D：根据基本不等式分析判断.
【详解】对A、B：∵，则，
∴，即，，A、B正确；
对C∵，例如，则，显然不满足，C错误；
对D：∵，则，
∴，D正确.
故选：ABD.
10.如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（）
A.若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为
B.若AP=，则点P的轨迹长度为
C.若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是
D.若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可得点Р的轨迹是线段，即可判断AB，建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算即可判断C，结合条件可得外接球的半径，即可判断D
【详解】
分别取棱，的中点M，N，连接，
易证，，
平面，平面，所以平面，
且平面，平面，所以平面，
又平面，则平面平面，
因为平面，且P是正方形内的动点，
所以点Р的轨迹是线段.
因为，所以，因为，所以，
故A正确.
因为，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆，
则点Р的轨迹长度为，则B错误.
以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图1所示的空间直角坐标系.
由题中数据可知则，，.
设平面CEF的法向量为，则，得.
设直线AР与平面CEF所成的角为，则.
因为，所以，所以，
所以，则，故C正确.
Р是棱的中点，则外接圆的圆心为正方形的中心，半径为2.
如图2，设，则三棱锥的外接球的半径满足，解得，
从而三棱锥P-CEF的外接球的表面积是，故D正确.
故选：ACD
11.已知数列的前项和为，且，若，则（）
A.是等比数列B.是等比数列
C.是等差数列D.是等差数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合等比数列的定义和等差数列的定义及判定方法...
