湖南省名校联考2024-2025学年高二数学上学期期中联考试卷含解析（word版） 人教版
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文件简介::
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名?考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一?单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为纯虚数，则（）
A.3B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数乘法求出，再利用纯虚数的意义求解即得.
【详解】依题意，，由是纯虚数，得，
所以.
故选：B
2.空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间坐标系的定义得对称点的坐标，再求得向量坐标．
【详解】由点与点关于平面对称，可得，所以.
故选：A．
3.若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（）
A.B.
CD.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数恒等式，可求得的值，即为直线的斜率，再由点斜式方程得到答案.
【详解】由及，可得，
所以的斜率，
所以由点斜式方程得的方程为:
，即.
故选：C.
4.函数的单调递减区间为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的定义域，利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间.
【详解】对于函数，，解得或.
所以，函数的定义域为，
内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
外层函数为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为.
故选：C.
【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题.
5.6万多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可观测到.已知某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距太阳最近的点）距太阳中心0.6天文单位，远日点（距太阳最远的点）距太阳中心35天文单位，且近日点?远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的离心率约是（）
A.0.017B.0.25C.0.86D.0.97
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的信息，结合椭圆的概念特征，离心率公式列式计算即得.
【详解】解析设该椭圆的半焦距为cc>0，长半轴长为，
根据题意有，可得，，
所以离心率.
故选：D.
6.已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式可得双曲线的上焦点到其渐近线的距离为，则，再结合双曲线的渐近线方程即可得答案.
【详解】设的半焦距为，则，
根据对称性，可知的上焦点到其渐近线的距离为，
所以，所以的渐近线的斜率为.
故选：A.
7.已知直线与抛物线相交于两点，点在轴上，且，则点到坐标原点的距离为（）
A.4B.2C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，直线方程代入抛物线方程（消去）可得，把用坐标表示后可求得，从而得结论．
【详解】设，将与联立，得，所以.
设，因为，所以
0，
解得，故点到坐标原点的距离为.
故选：D．
8.已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接，点为等边的中心，同时可得点即为球心，进而可求表面积.
【详解】如图，取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接.
在中，.易知点为等边的中心，
所以.
易知，所以.
所以，点即为球心，球的半径为，
表面积为.
故选：D.
二?多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线和圆，则（）
A.直线过定点
B.直线与圆有两个交点
C.存在直线与直线垂直
D.直线被圆截得的最短弦长为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.
【详解】对A，由可得，，
令，即，此时，所以直线l恒过定点，A正确；
对B，因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确；
对C，因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，即，
此时直线l与直线垂直，满足题意，C正确；
对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l最大距离为，
此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误；
故选：ABC.
10.如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，则（）
A.
B.平面
C.
D.点到平面的距离为
【答案】BC
【解析】
【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用向量法表示出线段的方向向量和平面的法向量，根据向量的数量积判断线线垂直、线面平行，再利用向量方法计算点到平面的距离，依次判断选项正误.
【详解】如图所示，
设是棱的中点，连接OC，
因为，所以且，
以为原点，直线，分别为轴，
过作的平行线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
，
对于选项A，因为，
所以CN与不垂直，故A错误；
对于选项B，设平面的一个法向量为，
则，即，所以取，
因为平面，
所以MN平面，故B正确；
对于选项C，，故C正确；...
1.答题前，考生务必将自己的姓名?考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一?单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为纯虚数，则（）
A.3B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数乘法求出，再利用纯虚数的意义求解即得.
【详解】依题意，，由是纯虚数，得，
所以.
故选：B
2.空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间坐标系的定义得对称点的坐标，再求得向量坐标．
【详解】由点与点关于平面对称，可得，所以.
故选：A．
3.若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（）
A.B.
CD.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数恒等式，可求得的值，即为直线的斜率，再由点斜式方程得到答案.
【详解】由及，可得，
所以的斜率，
所以由点斜式方程得的方程为:
，即.
故选：C.
4.函数的单调递减区间为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的定义域，利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间.
【详解】对于函数，，解得或.
所以，函数的定义域为，
内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
外层函数为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为.
故选：C.
【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题.
5.6万多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可观测到.已知某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距太阳最近的点）距太阳中心0.6天文单位，远日点（距太阳最远的点）距太阳中心35天文单位，且近日点?远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的离心率约是（）
A.0.017B.0.25C.0.86D.0.97
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的信息，结合椭圆的概念特征，离心率公式列式计算即得.
【详解】解析设该椭圆的半焦距为cc>0，长半轴长为，
根据题意有，可得，，
所以离心率.
故选：D.
6.已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式可得双曲线的上焦点到其渐近线的距离为，则，再结合双曲线的渐近线方程即可得答案.
【详解】设的半焦距为，则，
根据对称性，可知的上焦点到其渐近线的距离为，
所以，所以的渐近线的斜率为.
故选：A.
7.已知直线与抛物线相交于两点，点在轴上，且，则点到坐标原点的距离为（）
A.4B.2C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，直线方程代入抛物线方程（消去）可得，把用坐标表示后可求得，从而得结论．
【详解】设，将与联立，得，所以.
设，因为，所以
0，
解得，故点到坐标原点的距离为.
故选：D．
8.已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接，点为等边的中心，同时可得点即为球心，进而可求表面积.
【详解】如图，取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接.
在中，.易知点为等边的中心，
所以.
易知，所以.
所以，点即为球心，球的半径为，
表面积为.
故选：D.
二?多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线和圆，则（）
A.直线过定点
B.直线与圆有两个交点
C.存在直线与直线垂直
D.直线被圆截得的最短弦长为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.
【详解】对A，由可得，，
令，即，此时，所以直线l恒过定点，A正确；
对B，因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确；
对C，因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，即，
此时直线l与直线垂直，满足题意，C正确；
对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l最大距离为，
此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误；
故选：ABC.
10.如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，则（）
A.
B.平面
C.
D.点到平面的距离为
【答案】BC
【解析】
【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用向量法表示出线段的方向向量和平面的法向量，根据向量的数量积判断线线垂直、线面平行，再利用向量方法计算点到平面的距离，依次判断选项正误.
【详解】如图所示，
设是棱的中点，连接OC，
因为，所以且，
以为原点，直线，分别为轴，
过作的平行线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
，
对于选项A，因为，
所以CN与不垂直，故A错误；
对于选项B，设平面的一个法向量为，
则，即，所以取，
因为平面，
所以MN平面，故B正确；
对于选项C，，故C正确；...
