高考数学专题01 圆锥曲线中的弦长问题word版 人教版
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专题01圆锥曲线中的弦长问题
一、单选题
1．设椭圆长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则过焦点且垂直于长轴的弦长是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设椭圆焦点在轴上，椭圆的标准方程为，将或代入椭圆的标准方程，求出，由此可求得结果.
【详解】
设椭圆焦点在轴上，椭圆的标准方程为，
将或代入椭圆的标准方程得，，
解得，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是.
故选：D.
2．已知椭圆，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
当l：时，，设与椭圆联立可得：，然后求得的中垂线方程，令，得，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得，，建立求解.
【详解】
椭圆的左焦点为,
当l：时，，，
所以，
设与椭圆联立，可得：
，
由韦达定理得：，
取中点为，
所以的中垂线方程为：
，
令，得，
所以，
又，
所以，
综上所述，
故选：B.
【点睛】
思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则弦长为(k为直线斜率)．
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．
3．过椭圆9x2+25y2=225的右焦点且倾斜角为45°的弦长AB的长为（）
A．5B．6C．D．7
【答案】C
【分析】
求出焦点坐标和直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得答案.
【详解】
由9x2+25y2=225得，，，所以，右焦点坐标为，直线AB的方程为，所以得，
设，所以，
.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的弦长公式，由韦达定理的应用.
4．椭圆的左、右焦点分别是、，斜率为的直线l过左焦点且交于，两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先利用等面积法可得：，求解出的值，然后根据弦长公式的取值范围.
【详解】
设内切圆半径为r，由题意得
得，.
故选：B.
【点睛】
本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的运用是关键.
二、多选题
5．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，则（）
A．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的方程为
B．若，则直线的斜率为
C．若直线的斜率为，则
D．设线段的中点为，若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为
【答案】AD
【分析】
由抛物线的定义求得的值，可判断A选项的正误；设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理可求得的值，可判断B选项的正误；利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项的正误；设直线的方程为，设点、，联立直线与抛物线的方程，求得点到轴的距离和，可得出关于的表达式，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，由抛物线的定义可得，解得，
所以，抛物线的标准方程为，A选项正确；
对于B选项，如下图所示：
抛物线的焦点为，设点、，设直线的方程为，
联立，消去并整理得，恒成立，
由韦达定理可得，，
由于，由图象可得，即，
所以，，可得，解得，
所以，直线的斜率为，B选项错误；
对于C选项，当直线的斜率为时，由B选项可知，，，
由抛物线的焦点弦长公式可得，C选项错误；
对于D选项，抛物线的焦点到准线的距离为，则该抛物线的方程为.
设直线的方程为，设点、，
联立，消去可得，，
则，，
，点到轴的距离为，
所以，，
当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选：AD.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了抛物线焦点弦的几何性质以及焦点弦长、焦半径的计算.本题中将直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点、的纵坐标所满足的关系，并结合了抛物线的焦点弦长公式进行计算，考查学生的运算求解能力，属于中等题.
三、解答题
6．如图，是直线上一动点，过点且与垂直的直线交抛物线于，两点，点在，之间．
（1）若过抛物线的焦点，求；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先求出直线的方程，联立直线与抛物线，将韦达定理和弦长公式相结合即可得结果；
（2）设，联立方程组分别求出A，B，P的纵坐标，将表示为关于的函数式，结合基本不等式即可得结果.
【详解】
解：（1）由已知得，所以，
联立得，消去，可得，
设点，，
由根与系数的关系得，
所以．
（2）设，由，消去，可知，
∵有两个不同的交点，∴，
解得：，，
由，得，
由于点在点，点之间，
所以，
设，
所以，
当且仅当时，即时取等号．
故的最小值为．
【点睛】
关键点点睛：
（1）直线弦长公式的应用；
（2）将所求量表示为关于的函数，利用基本不等式求最值.
7．已知椭圆（）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线过点，且与椭圆相交于另一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段长为，求直线的倾斜角．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）由题设列出基本量方程组，解得基本量，从而得方程.
（2）设直线方程，代入椭圆方程得关于的一元二次方...
一、单选题
1．设椭圆长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则过焦点且垂直于长轴的弦长是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设椭圆焦点在轴上，椭圆的标准方程为，将或代入椭圆的标准方程，求出，由此可求得结果.
【详解】
设椭圆焦点在轴上，椭圆的标准方程为，
将或代入椭圆的标准方程得，，
解得，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是.
故选：D.
2．已知椭圆，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
当l：时，，设与椭圆联立可得：，然后求得的中垂线方程，令，得，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得，，建立求解.
【详解】
椭圆的左焦点为,
当l：时，，，
所以，
设与椭圆联立，可得：
，
由韦达定理得：，
取中点为，
所以的中垂线方程为：
，
令，得，
所以，
又，
所以，
综上所述，
故选：B.
【点睛】
思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则弦长为(k为直线斜率)．
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．
3．过椭圆9x2+25y2=225的右焦点且倾斜角为45°的弦长AB的长为（）
A．5B．6C．D．7
【答案】C
【分析】
求出焦点坐标和直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得答案.
【详解】
由9x2+25y2=225得，，，所以，右焦点坐标为，直线AB的方程为，所以得，
设，所以，
.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的弦长公式，由韦达定理的应用.
4．椭圆的左、右焦点分别是、，斜率为的直线l过左焦点且交于，两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先利用等面积法可得：，求解出的值，然后根据弦长公式的取值范围.
【详解】
设内切圆半径为r，由题意得
得，.
故选：B.
【点睛】
本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的运用是关键.
二、多选题
5．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，则（）
A．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的方程为
B．若，则直线的斜率为
C．若直线的斜率为，则
D．设线段的中点为，若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为
【答案】AD
【分析】
由抛物线的定义求得的值，可判断A选项的正误；设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理可求得的值，可判断B选项的正误；利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项的正误；设直线的方程为，设点、，联立直线与抛物线的方程，求得点到轴的距离和，可得出关于的表达式，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，由抛物线的定义可得，解得，
所以，抛物线的标准方程为，A选项正确；
对于B选项，如下图所示：
抛物线的焦点为，设点、，设直线的方程为，
联立，消去并整理得，恒成立，
由韦达定理可得，，
由于，由图象可得，即，
所以，，可得，解得，
所以，直线的斜率为，B选项错误；
对于C选项，当直线的斜率为时，由B选项可知，，，
由抛物线的焦点弦长公式可得，C选项错误；
对于D选项，抛物线的焦点到准线的距离为，则该抛物线的方程为.
设直线的方程为，设点、，
联立，消去可得，，
则，，
，点到轴的距离为，
所以，，
当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选：AD.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了抛物线焦点弦的几何性质以及焦点弦长、焦半径的计算.本题中将直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点、的纵坐标所满足的关系，并结合了抛物线的焦点弦长公式进行计算，考查学生的运算求解能力，属于中等题.
三、解答题
6．如图，是直线上一动点，过点且与垂直的直线交抛物线于，两点，点在，之间．
（1）若过抛物线的焦点，求；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先求出直线的方程，联立直线与抛物线，将韦达定理和弦长公式相结合即可得结果；
（2）设，联立方程组分别求出A，B，P的纵坐标，将表示为关于的函数式，结合基本不等式即可得结果.
【详解】
解：（1）由已知得，所以，
联立得，消去，可得，
设点，，
由根与系数的关系得，
所以．
（2）设，由，消去，可知，
∵有两个不同的交点，∴，
解得：，，
由，得，
由于点在点，点之间，
所以，
设，
所以，
当且仅当时，即时取等号．
故的最小值为．
【点睛】
关键点点睛：
（1）直线弦长公式的应用；
（2）将所求量表示为关于的函数，利用基本不等式求最值.
7．已知椭圆（）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线过点，且与椭圆相交于另一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段长为，求直线的倾斜角．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）由题设列出基本量方程组，解得基本量，从而得方程.
（2）设直线方程，代入椭圆方程得关于的一元二次方...
