高考数学专题02 圆锥曲线中的面积问题word版 人教版
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专题02圆锥曲线中的面积问题
一、单选题
1．直线经过抛物线的焦点F且与抛物线交于A、B两点，过A、B两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则的面积的最小值是（）
A．B．4C．D．6
【答案】B
【分析】
由抛物线方程求出焦点坐标，设直线：，与抛物线方程联立求出两点纵坐标之差的绝对值的最小值，再利用三角形面积公式可求得面积的最小值.
【详解】
由抛物线可知，所以，准线为，
依题意设直线：，代入得，
设，
则，，所以，当且仅当时，等号成立.
所以.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：利用两点的纵坐标之差的绝对值表示是本题解题关键.
2．已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，若，则的面积为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用椭圆焦点三角形面积公式，即可求解.
【详解】
由题意知：，为椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，
所以是焦点三角形，且，，
所以，
故选：B
3．已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先根据双曲线方程得到，，，设，，可得，.由，在根据余弦定理可得:，即可求得答案.
【详解】
，所以，，，
在双曲线上，设，，
①
由，在根据余弦定理可得:
故②
由①②可得，
直角的面积
故选：C.
【点睛】
思路点睛：
在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，结合双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想的应用.
4．已知椭圆两焦点，P为椭圆上一点，若，则的的内切圆半径为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由余弦定理得，
得到，可求得面积，再由可得答案.
【详解】
，，
由题意得，，由余弦定理得，
得，，
设内切圆的半径为，则，
所以.
故选：B.
【点睛】
椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，内角和定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点.
5．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，线段的中点在直线上，为坐标原点，则的面积为（）
A．B．C．D．9
【答案】B
【分析】
首先设，，利用点差法得到，从而得到直线.联立直线与抛物线，利用根系关系得到，再求的面积即可.
【详解】
由抛物线，得，
设，，
由题知：，
即.
由题意知：，
所以，
故直线.
联立得：.
所以，.
故.
所以.
则的面积为.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：利用点差法求焦点三角形的面积问题.
点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差.求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.利用点差法可以减少很多的计算,所以在解有关的问题时用这种方法比较好.
二、多选题
6．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，若点满足(为坐标原点)，下列说法正确的有（）
A．双曲线的虚轴长为
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的一条渐近线方程为
D．三角形的面积为
【答案】BD
【分析】
根据题中条件，得到双曲线的半焦距为，由双曲线方程可得，其渐近线方程为，设，则，根据，以及点在圆上，求出的坐标，得出，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】
因为双曲线的焦点在圆上，
所以双曲线的半焦距为，
由可得其渐近线方程为，
因为圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，不妨设，则，
又，，所以，即，
整理得，又点在圆上，所以，
由解得，即，
又点在渐近线上，所以，
由解得，因此双曲线的方程为；
所以其虚轴长为，故A错；
离心率为，故B正确；
其渐近线方程为，故C错；
三角形的面积为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】
关键点点睛：
解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及，求出交点坐标，得出之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.
7．已知曲线C的方程为，，点P是C上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N，则的面积可能为（）
A．73B．76C．68D．72
【答案】ABD
【分析】
设，求出，求出的坐标和的最小值，得到的面积的最小值，即得解.
【详解】
设，则．
设，则，
直线的方程为，则点M的坐标为，
直线的方程为，
则点N的坐标为．所以，
当且仅当，即时等号成立．
从而面积的最小值为.
故选：ABD．
【点睛】
方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.
（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.
（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性、直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.
（5）利用数形结合分析解答.
8．双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）
A．双曲线C...
一、单选题
1．直线经过抛物线的焦点F且与抛物线交于A、B两点，过A、B两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则的面积的最小值是（）
A．B．4C．D．6
【答案】B
【分析】
由抛物线方程求出焦点坐标，设直线：，与抛物线方程联立求出两点纵坐标之差的绝对值的最小值，再利用三角形面积公式可求得面积的最小值.
【详解】
由抛物线可知，所以，准线为，
依题意设直线：，代入得，
设，
则，，所以，当且仅当时，等号成立.
所以.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：利用两点的纵坐标之差的绝对值表示是本题解题关键.
2．已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，若，则的面积为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用椭圆焦点三角形面积公式，即可求解.
【详解】
由题意知：，为椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，
所以是焦点三角形，且，，
所以，
故选：B
3．已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先根据双曲线方程得到，，，设，，可得，.由，在根据余弦定理可得:，即可求得答案.
【详解】
，所以，，，
在双曲线上，设，，
①
由，在根据余弦定理可得:
故②
由①②可得，
直角的面积
故选：C.
【点睛】
思路点睛：
在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，结合双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想的应用.
4．已知椭圆两焦点，P为椭圆上一点，若，则的的内切圆半径为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由余弦定理得，
得到，可求得面积，再由可得答案.
【详解】
，，
由题意得，，由余弦定理得，
得，，
设内切圆的半径为，则，
所以.
故选：B.
【点睛】
椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，内角和定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点.
5．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，线段的中点在直线上，为坐标原点，则的面积为（）
A．B．C．D．9
【答案】B
【分析】
首先设，，利用点差法得到，从而得到直线.联立直线与抛物线，利用根系关系得到，再求的面积即可.
【详解】
由抛物线，得，
设，，
由题知：，
即.
由题意知：，
所以，
故直线.
联立得：.
所以，.
故.
所以.
则的面积为.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：利用点差法求焦点三角形的面积问题.
点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差.求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.利用点差法可以减少很多的计算,所以在解有关的问题时用这种方法比较好.
二、多选题
6．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，若点满足(为坐标原点)，下列说法正确的有（）
A．双曲线的虚轴长为
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的一条渐近线方程为
D．三角形的面积为
【答案】BD
【分析】
根据题中条件，得到双曲线的半焦距为，由双曲线方程可得，其渐近线方程为，设，则，根据，以及点在圆上，求出的坐标，得出，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】
因为双曲线的焦点在圆上，
所以双曲线的半焦距为，
由可得其渐近线方程为，
因为圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，不妨设，则，
又，，所以，即，
整理得，又点在圆上，所以，
由解得，即，
又点在渐近线上，所以，
由解得，因此双曲线的方程为；
所以其虚轴长为，故A错；
离心率为，故B正确；
其渐近线方程为，故C错；
三角形的面积为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】
关键点点睛：
解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及，求出交点坐标，得出之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.
7．已知曲线C的方程为，，点P是C上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N，则的面积可能为（）
A．73B．76C．68D．72
【答案】ABD
【分析】
设，求出，求出的坐标和的最小值，得到的面积的最小值，即得解.
【详解】
设，则．
设，则，
直线的方程为，则点M的坐标为，
直线的方程为，
则点N的坐标为．所以，
当且仅当，即时等号成立．
从而面积的最小值为.
故选：ABD．
【点睛】
方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.
（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.
（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性、直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.
（5）利用数形结合分析解答.
8．双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）
A．双曲线C...
