高考数学专题03 圆锥曲线中的中点弦问题word版 人教版
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专题03圆锥曲线中的中点弦问题
一、单选题
1．已知椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
设出这条弦与椭圆的交点，将点代入椭圆方程，两式作差求出直线的斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】
设这条弦与椭圆交于，，
由在椭圆内，
由中点坐标公式知，，
把，代入，
可得，
①②可得，
，
这条弦所在的直线方程为，
即为.
则所求直线方程为.
故选：A
2．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
设出的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解.
【详解】
设，则，
则，，
两式相减得，
所以，
即直线斜率是.
故选：C
【点睛】
方法点睛：一般涉及到弦的中点和弦所在直线的斜率时，使用点差法解决.
3．直线与椭圆相交于两点，若中点的横坐标为，则=（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
代入消元得关于一元二次方程，再用韦达定理即可.
【详解】
设
把代入得，
，因为中点的横坐标为，
所以，解得.
故选:C
【点睛】
用韦达定理解决直线与圆锥曲线交点问题是常用的方法，需要注意直线与圆锥曲线是否有交点，可用判断.
4．已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
设过点的直线交抛物线于、两点，可得出，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】
设过点的直线交抛物线于、两点.
若直线垂直于轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，由于点为线段的中点，则，
由于点、在抛物线上，可得，
两式作差得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
【点睛】
本题考查抛物线的中点弦问题，考查点差法的应用，同时也可以利用直线与抛物线方程联立，结合韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题.
5．已知椭圆：()的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.若的中点坐标为，则的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先设，，代入椭圆方程，两式作差整理，得到，根据弦中点坐标，将式子化简整理，得到，根据且，即可求出结果.
【详解】
设，，则，
两式相减并化简得，
又过点的直线交椭圆于，两点，的中点坐标为，
所以，，
即，
由于且，由此可解得，，
故椭圆的方程为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查求椭圆的方程，考查中点弦问题，属于常考题型.
6．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若，则线段AB的中点到y轴的距离为（）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】
本题先设，两点，并判断线段AB的中点到y轴的距离为，再求，最后求解.
【详解】
解：设，，则线段AB的中点到y轴的距离为：，
根据抛物线的定义：，
整理得：，
故线段AB的中点到y轴的距离为：，
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的定义，是基础题.
7．过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，若线段的中点的坐标为，则的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.
【详解】
设，则
的中点，所以，
又，所以，
即，
而，，
所以，又，
所以，所以
椭圆方程为：.
故选：A.
【点睛】
本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.
8．已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设出两点的坐标，利用点差法求得的关系式，结合求得，进而求得椭圆的方程.
【详解】
设，则
，两式相减并化简得，
即,
由于且，由此可解得，
故椭圆的方程为.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.
9．直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用点差法，两式相减，利用中点坐标求直线的斜率.
【详解】
设，
，两式相减得，
即，
当时，，
因为点是的中点，所以，，
解得：
故选：A
【点睛】
本题考查中点弦问题，重点考查点差法，属于基础题型.
10．已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】
先根据已知得到，再利用点差法求出直线的斜率.
【详解】
由题得.
设，由题得，
所以，
两式相减得，
所以，
所以，
所以.
故选：C
【点睛】
本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
11．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程...
一、单选题
1．已知椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
设出这条弦与椭圆的交点，将点代入椭圆方程，两式作差求出直线的斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】
设这条弦与椭圆交于，，
由在椭圆内，
由中点坐标公式知，，
把，代入，
可得，
①②可得，
，
这条弦所在的直线方程为，
即为.
则所求直线方程为.
故选：A
2．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
设出的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解.
【详解】
设，则，
则，，
两式相减得，
所以，
即直线斜率是.
故选：C
【点睛】
方法点睛：一般涉及到弦的中点和弦所在直线的斜率时，使用点差法解决.
3．直线与椭圆相交于两点，若中点的横坐标为，则=（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
代入消元得关于一元二次方程，再用韦达定理即可.
【详解】
设
把代入得，
，因为中点的横坐标为，
所以，解得.
故选:C
【点睛】
用韦达定理解决直线与圆锥曲线交点问题是常用的方法，需要注意直线与圆锥曲线是否有交点，可用判断.
4．已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
设过点的直线交抛物线于、两点，可得出，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】
设过点的直线交抛物线于、两点.
若直线垂直于轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，由于点为线段的中点，则，
由于点、在抛物线上，可得，
两式作差得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
【点睛】
本题考查抛物线的中点弦问题，考查点差法的应用，同时也可以利用直线与抛物线方程联立，结合韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题.
5．已知椭圆：()的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.若的中点坐标为，则的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先设，，代入椭圆方程，两式作差整理，得到，根据弦中点坐标，将式子化简整理，得到，根据且，即可求出结果.
【详解】
设，，则，
两式相减并化简得，
又过点的直线交椭圆于，两点，的中点坐标为，
所以，，
即，
由于且，由此可解得，，
故椭圆的方程为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查求椭圆的方程，考查中点弦问题，属于常考题型.
6．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若，则线段AB的中点到y轴的距离为（）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】
本题先设，两点，并判断线段AB的中点到y轴的距离为，再求，最后求解.
【详解】
解：设，，则线段AB的中点到y轴的距离为：，
根据抛物线的定义：，
整理得：，
故线段AB的中点到y轴的距离为：，
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的定义，是基础题.
7．过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，若线段的中点的坐标为，则的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.
【详解】
设，则
的中点，所以，
又，所以，
即，
而，，
所以，又，
所以，所以
椭圆方程为：.
故选：A.
【点睛】
本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.
8．已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设出两点的坐标，利用点差法求得的关系式，结合求得，进而求得椭圆的方程.
【详解】
设，则
，两式相减并化简得，
即,
由于且，由此可解得，
故椭圆的方程为.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.
9．直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用点差法，两式相减，利用中点坐标求直线的斜率.
【详解】
设，
，两式相减得，
即，
当时，，
因为点是的中点，所以，，
解得：
故选：A
【点睛】
本题考查中点弦问题，重点考查点差法，属于基础题型.
10．已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】
先根据已知得到，再利用点差法求出直线的斜率.
【详解】
由题得.
设，由题得，
所以，
两式相减得，
所以，
所以，
所以.
故选：C
【点睛】
本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
11．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程...
