高考数学专题04 圆锥曲线中的范围问题word版 人教版
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专题04圆锥曲线中的范围问题
一、单选题
1．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】
根据抛物线定义，转化，要使有最小值，只需最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程与抛物线方程，求出斜率，然后求出点坐标，即可求解.
【详解】
由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.
由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.
设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：
，整理得：
则，解得
即，解得，代入得
或，再利用焦半径公式得
故选：B.
关键点睛：本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，解题的关键是要将取最小值转化为直线斜率最大，再转化为抛物线的切线，考查学生的转化思想与运算求解能力，属于中档题.
2．已知椭圆，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
当l：时，，设与椭圆联立可得：，然后求得的中垂线方程，令，得，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得，，建立求解.
【详解】
椭圆的左焦点为,
当l：时，，，
所以，
设与椭圆联立，可得：
，
由韦达定理得：，
取中点为，
所以的中垂线方程为：
，
令，得，
所以，
又，
所以，
综上所述，
故选：B.
【点睛】
思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则弦长为(k为直线斜率)．
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．
3．已知点，分别为圆和椭圆上的点，则，两点间的最大距离是（）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】
求得圆心坐标和半径，设出椭圆上任意一点的坐标，利用，表示椭圆上的点到圆上点的最大距离的表达式，再利用三角函数求得其最大值.
【详解】
依题意可知圆心，半径是.
设椭圆上的点，
此时点到圆上的点的最大距离为，即，
由，得，即
所以的最大值为9，即，两点间的最大距离是9.
故选：D
【点睛】
本题主要考查圆和椭圆的位置关系，圆外一点到圆上的点的最大距离的表示，考查学生的换元思想以及化归与转化的数学思想方法，考查学生的运算能力，属于中档题.
4．已知直线：与椭圆：至多有一个公共点，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由直线：与椭圆：至多有一个公共点，即联立方程，化简整理得，即可理解为双曲线外部的点（可行域），转化为线性规划的题，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到的取值范围.
【详解】
联立方程，化简整理得：
因为直线：与椭圆：至多有一个公共点，
所以，即，
即点满足双曲线外部的点，即可行域，如图所示，为x轴，k为y轴，
将变形为，平移直线，
由图可知，当直线与双曲线相切时为临界条件.
联立，化简整理得：
由题知，，解得
若可行域是双曲线右支外部的点，即临界条件切线需要往上平移，即；
若可行域是双曲线左支外部的点，即临界条件切线需要往下平移，即；
综上可知，的取值范围是
故选：D.
【点睛】
本题考查直线与椭圆交点个数问题，考查用双曲线外部点作可行域，求线性目标函数的最值，考查学生的转化与化归思想，数形结合思想与运算求解能力，属于难题.
二、多选题
5．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点.点是抛物线上不同的两点.下面说法中正确的是（）
A．若直线过焦点，则以线段为直径的圆与准线相切；
B．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多两条；
C．对于抛物线内的一点，则；
D．若直线垂直于轴，则直线与直线的交点在抛物线上.
【答案】ACD
【分析】
过作准线于，过作准线于，计算得到A正确；直线包括两条切线和轴所在直线，B错误；，C正确；设，，计算交点验证得到答案.
【详解】
如图一：过作准线于，过作准线于，
过中点作准线于，则，
故以线段为直径的圆与准线相切，A正确；
点与抛物线有且仅有一个公共点的直线包括两条切线和轴所在直线，B错误；
如图二：过作准线于，过作准线于，准线方程为，
，当共线时等号成立，C正确；
设，，，，
则直线：，：，交点，
带入满足抛物线方程，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
思路点睛：
利用抛物线定义将点到焦点的距离和点到准线的距离互换，利用几何关系，是解决抛物线中距离的最值的关键.
6．已知曲线C的方程为，，点P是C上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N，则的面积可能为（）
A．73B．76C．68D．72
【答案】ABD
【分析】
设，求出，求出的坐标和的最小值，得到的面积的最小值，即得解.
【详解】
设，则．
设，则，
直线的方程为，则点M的坐标为，
直线的方程为，
则点N的坐标为．所以，
当且仅当，即时等号成立．
从而面积的最小值为.
故选：ABD．
【点睛】
方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.
（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个...
一、单选题
1．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】
根据抛物线定义，转化，要使有最小值，只需最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程与抛物线方程，求出斜率，然后求出点坐标，即可求解.
【详解】
由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.
由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.
设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：
，整理得：
则，解得
即，解得，代入得
或，再利用焦半径公式得
故选：B.
关键点睛：本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，解题的关键是要将取最小值转化为直线斜率最大，再转化为抛物线的切线，考查学生的转化思想与运算求解能力，属于中档题.
2．已知椭圆，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
当l：时，，设与椭圆联立可得：，然后求得的中垂线方程，令，得，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得，，建立求解.
【详解】
椭圆的左焦点为,
当l：时，，，
所以，
设与椭圆联立，可得：
，
由韦达定理得：，
取中点为，
所以的中垂线方程为：
，
令，得，
所以，
又，
所以，
综上所述，
故选：B.
【点睛】
思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则弦长为(k为直线斜率)．
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．
3．已知点，分别为圆和椭圆上的点，则，两点间的最大距离是（）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】
求得圆心坐标和半径，设出椭圆上任意一点的坐标，利用，表示椭圆上的点到圆上点的最大距离的表达式，再利用三角函数求得其最大值.
【详解】
依题意可知圆心，半径是.
设椭圆上的点，
此时点到圆上的点的最大距离为，即，
由，得，即
所以的最大值为9，即，两点间的最大距离是9.
故选：D
【点睛】
本题主要考查圆和椭圆的位置关系，圆外一点到圆上的点的最大距离的表示，考查学生的换元思想以及化归与转化的数学思想方法，考查学生的运算能力，属于中档题.
4．已知直线：与椭圆：至多有一个公共点，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由直线：与椭圆：至多有一个公共点，即联立方程，化简整理得，即可理解为双曲线外部的点（可行域），转化为线性规划的题，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到的取值范围.
【详解】
联立方程，化简整理得：
因为直线：与椭圆：至多有一个公共点，
所以，即，
即点满足双曲线外部的点，即可行域，如图所示，为x轴，k为y轴，
将变形为，平移直线，
由图可知，当直线与双曲线相切时为临界条件.
联立，化简整理得：
由题知，，解得
若可行域是双曲线右支外部的点，即临界条件切线需要往上平移，即；
若可行域是双曲线左支外部的点，即临界条件切线需要往下平移，即；
综上可知，的取值范围是
故选：D.
【点睛】
本题考查直线与椭圆交点个数问题，考查用双曲线外部点作可行域，求线性目标函数的最值，考查学生的转化与化归思想，数形结合思想与运算求解能力，属于难题.
二、多选题
5．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点.点是抛物线上不同的两点.下面说法中正确的是（）
A．若直线过焦点，则以线段为直径的圆与准线相切；
B．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多两条；
C．对于抛物线内的一点，则；
D．若直线垂直于轴，则直线与直线的交点在抛物线上.
【答案】ACD
【分析】
过作准线于，过作准线于，计算得到A正确；直线包括两条切线和轴所在直线，B错误；，C正确；设，，计算交点验证得到答案.
【详解】
如图一：过作准线于，过作准线于，
过中点作准线于，则，
故以线段为直径的圆与准线相切，A正确；
点与抛物线有且仅有一个公共点的直线包括两条切线和轴所在直线，B错误；
如图二：过作准线于，过作准线于，准线方程为，
，当共线时等号成立，C正确；
设，，，，
则直线：，：，交点，
带入满足抛物线方程，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
思路点睛：
利用抛物线定义将点到焦点的距离和点到准线的距离互换，利用几何关系，是解决抛物线中距离的最值的关键.
6．已知曲线C的方程为，，点P是C上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N，则的面积可能为（）
A．73B．76C．68D．72
【答案】ABD
【分析】
设，求出，求出的坐标和的最小值，得到的面积的最小值，即得解.
【详解】
设，则．
设，则，
直线的方程为，则点M的坐标为，
直线的方程为，
则点N的坐标为．所以，
当且仅当，即时等号成立．
从而面积的最小值为.
故选：ABD．
【点睛】
方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.
（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个...
