高考数学专题07 圆锥曲线中的向量共线问题word版 人教版
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专题07圆锥曲线中的向量共线问题
一、单选题
1．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，点M，N分别在抛物线C上.若，则点M到y轴的距离为（）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】
由可得，设，，由，可得.
【详解】
由可得，设，，
由，可得，
所以且，
所以，解得，所以，
所以点M到y轴的距离为1.
故选：D.
【点睛】
本题考查了抛物线的几何性质，考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.
2．抛物线的焦点为，准线为，点在上，线段与抛物线交于点，若，点到轴的距离为2，则的值是（）
A．B．4C．D．2
【答案】C
【分析】
画出图形，通过向量关系，转化为：，通过求解三角形，结合抛物线的性质转化求解即可．
【详解】
解：抛物线的焦点为，准线为，
点在上，线段与抛物线交于点，若，
过作于，则，
所以，设准线与轴交于，
则，因为点到轴的距离为2，
所以，解得，
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线几何性质、平面向量的线性运算，熟练掌握抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
3．已知双曲线的标准方程为，过其右焦点F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则AB的垂直平分线与x轴交点的横坐标是（）
A．20B．10C．12D．18
【答案】A
【分析】
解法一：先根据双曲线的方程得到焦点F的坐标,设出直线AB的方程,并将其与双曲线方程联立,再结合及根与系数的关系,求出AB的中点坐标,进而可得AB的垂直平分线的方程,最后求其与x轴交点的横坐标即可；
解法二：设出A,B两点的坐标,结合,利用向量的坐标表示求出两点坐标之间的关系进行求解.
【详解】
解法―：由,得双曲线的右焦点,故由题意可设直线AB的方程为.联立方程,得,消去x得.设,.由及根与系数的关系,得,得,或,由对称性不妨设,则AB的中点坐标为,所以AB的垂直平分线的方程为,令,得.
故选：A.
解法二：由,得双曲线的右焦点.不妨设点A在第一象限内,设,,因为,所以,得.又点A,B在双曲线上,所以,得,则,所以AB的中点坐标为,直线AB的斜率,所以AB的垂直平分线的方程为,令,得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、向的坐标表示.试题综合考查直线与双曲线的位置关系,引导考生抓住解析几何问题的本质,透过本质建立数与形之间的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
4．已知抛物线，焦点为，圆，过的直线与交于、两点（点在第一象限），且，直线与圆相切，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设点、，可得，且，由结合向量的坐标运算以及可求得点的坐标，进而可求得直线的方程，由直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于圆的半径，由此可求得实数的值.
【详解】
抛物线的焦点为，设点、，则，且，
由得，，
由，即，即，可得，，
所以，点的坐标为，
直线的斜率为，则直线的方程为，即，
将圆的方程写为标准式得，则，可得.
由于直线与圆相切，则，解得，合乎题意.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用直线与圆相切求参数，同时也考查了利用抛物线中向量共比例关系求直线方程，考查计算能力，属于中等题.
5．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解.
【详解】
设双曲线的右准线为，
过、分别作于，于，于，
如图所示：
因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
∴，，
由双曲线的第二定义得：，
又∵，
∴，
∴
故选：B
【点睛】
本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
6．已知点与抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点，若，且直线QA的斜率为1，则（）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】
判断A、B的位置，结合向量关系，推出A、B横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可.
【详解】
解：由题意可知A在第一象限，B在第四象限，设，
由，所以，得，又，所以，
又A、F、B三点共线，可得，即，
可得，∴，，，
由QA斜率为1可得：，即，
则.
故选：C.
【点睛】
在直线和抛物线的位置关系中，结合向量共线考查求抛物线中的参数；基础题.
二、解答题
7．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（）的左、右焦点分别为、，左顶点为A，上顶点为B，离心率为e．椭圆上一点C满足：C在x轴上方，且⊥x轴．
（1）如图1，若OC∥AB，求e的值；
（2）如图2，连结并延长交椭圆于另一点D．若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据轴，设C，，再根据点C在椭圆上求得其坐标，然后再根据OC∥AB，由求解.
（2）设，，由（1），，然后用表示D的坐标，代入椭圆方程求解.
【详解】
（1）设椭圆的焦距为2c．
∵轴
可设C，，
因为，
所以，
解得，
∴C
∵OC∥AB，
所以
∴b=c
∴.
（2）设，，由（1）知：，，
，，
∵
∴，
所以，，
∴
又∵D在椭圆上
∴，
化简得：
又∵，
∵，，
则，
解得：
所以取值范围是．
【点睛】
方法点睛：求椭圆的离心率的常用方法：
①直接求出a，c来求解e.通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；
②构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关...
一、单选题
1．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，点M，N分别在抛物线C上.若，则点M到y轴的距离为（）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】
由可得，设，，由，可得.
【详解】
由可得，设，，
由，可得，
所以且，
所以，解得，所以，
所以点M到y轴的距离为1.
故选：D.
【点睛】
本题考查了抛物线的几何性质，考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.
2．抛物线的焦点为，准线为，点在上，线段与抛物线交于点，若，点到轴的距离为2，则的值是（）
A．B．4C．D．2
【答案】C
【分析】
画出图形，通过向量关系，转化为：，通过求解三角形，结合抛物线的性质转化求解即可．
【详解】
解：抛物线的焦点为，准线为，
点在上，线段与抛物线交于点，若，
过作于，则，
所以，设准线与轴交于，
则，因为点到轴的距离为2，
所以，解得，
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线几何性质、平面向量的线性运算，熟练掌握抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
3．已知双曲线的标准方程为，过其右焦点F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则AB的垂直平分线与x轴交点的横坐标是（）
A．20B．10C．12D．18
【答案】A
【分析】
解法一：先根据双曲线的方程得到焦点F的坐标,设出直线AB的方程,并将其与双曲线方程联立,再结合及根与系数的关系,求出AB的中点坐标,进而可得AB的垂直平分线的方程,最后求其与x轴交点的横坐标即可；
解法二：设出A,B两点的坐标,结合,利用向量的坐标表示求出两点坐标之间的关系进行求解.
【详解】
解法―：由,得双曲线的右焦点,故由题意可设直线AB的方程为.联立方程,得,消去x得.设,.由及根与系数的关系,得,得,或,由对称性不妨设,则AB的中点坐标为,所以AB的垂直平分线的方程为,令,得.
故选：A.
解法二：由,得双曲线的右焦点.不妨设点A在第一象限内,设,,因为,所以,得.又点A,B在双曲线上,所以,得,则,所以AB的中点坐标为,直线AB的斜率,所以AB的垂直平分线的方程为,令,得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、向的坐标表示.试题综合考查直线与双曲线的位置关系,引导考生抓住解析几何问题的本质,透过本质建立数与形之间的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
4．已知抛物线，焦点为，圆，过的直线与交于、两点（点在第一象限），且，直线与圆相切，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设点、，可得，且，由结合向量的坐标运算以及可求得点的坐标，进而可求得直线的方程，由直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于圆的半径，由此可求得实数的值.
【详解】
抛物线的焦点为，设点、，则，且，
由得，，
由，即，即，可得，，
所以，点的坐标为，
直线的斜率为，则直线的方程为，即，
将圆的方程写为标准式得，则，可得.
由于直线与圆相切，则，解得，合乎题意.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用直线与圆相切求参数，同时也考查了利用抛物线中向量共比例关系求直线方程，考查计算能力，属于中等题.
5．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解.
【详解】
设双曲线的右准线为，
过、分别作于，于，于，
如图所示：
因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
∴，，
由双曲线的第二定义得：，
又∵，
∴，
∴
故选：B
【点睛】
本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
6．已知点与抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点，若，且直线QA的斜率为1，则（）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】
判断A、B的位置，结合向量关系，推出A、B横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可.
【详解】
解：由题意可知A在第一象限，B在第四象限，设，
由，所以，得，又，所以，
又A、F、B三点共线，可得，即，
可得，∴，，，
由QA斜率为1可得：，即，
则.
故选：C.
【点睛】
在直线和抛物线的位置关系中，结合向量共线考查求抛物线中的参数；基础题.
二、解答题
7．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（）的左、右焦点分别为、，左顶点为A，上顶点为B，离心率为e．椭圆上一点C满足：C在x轴上方，且⊥x轴．
（1）如图1，若OC∥AB，求e的值；
（2）如图2，连结并延长交椭圆于另一点D．若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据轴，设C，，再根据点C在椭圆上求得其坐标，然后再根据OC∥AB，由求解.
（2）设，，由（1），，然后用表示D的坐标，代入椭圆方程求解.
【详解】
（1）设椭圆的焦距为2c．
∵轴
可设C，，
因为，
所以，
解得，
∴C
∵OC∥AB，
所以
∴b=c
∴.
（2）设，，由（1）知：，，
，，
∵
∴，
所以，，
∴
又∵D在椭圆上
∴，
化简得：
又∵，
∵，，
则，
解得：
所以取值范围是．
【点睛】
方法点睛：求椭圆的离心率的常用方法：
①直接求出a，c来求解e.通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；
②构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关...
