高考数学专题11 数列求和方法之分组并项求和法word版 人教版
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专题11数列求和方法之分组并项求和法
一、单选题
1．已知数列满足，，，且是等比数列，则（）
A．376B．382C．749D．766
【答案】C
【分析】
利用累加法求出通项，然后利用等比数列的求和公式，求解即可
【详解】
由已知得，，，而是等比数列，故，
，
，化简得，
故选：C
【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题
2．若在边长为的正三角形的边上有（，）等分点，沿向量的方向依次为，记，若给出四个数值：①；②；③；④；则的值可能的共有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】
由题意，存在实数，使得，则，计算数量积，得到，推出，结合题中条件，由赋值法，分别判断，即可得出结果.
【详解】
由题意，存在实数，使得，则，
所以
，
所以
，
令，解得；
令，解得；
令，解得；
令，解得；
所以的值不可能取所给的四个数值.
故选：A.
【点睛】
思路点睛：
向量数量积的问题，在求解时，可根据向量向量积的运算法则，由转化法求出数量积；也可利用建系的方法，建立平面直角坐标系，得出所需向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.
3．若数列的通项公式是，则（）
A．45B．65C．69D．
【答案】B
【分析】
由题意可得，从而可得，进而可得答案
【详解】
因为，
所以，
则，
故选：B．
【点睛】
此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题
二、解答题
4．设为等差数列，是正项等比数列，且，.在①，②，这两个条件中任选一个，回答下列问题：
（1）写出你选择的条件并求数列和的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若，求数列的前项和.
【答案】（1）条件选择见解析，，；（2）.
【分析】
（1）设的公差为，的公比为，根据所选的条件结合已知条件得出和的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列和等比数列的通项公式可求得数列和的通项公式；
（2）求得，利用分组求和法可求得.
【详解】
（1）选择①：设的公差为，的公比为.
则根据题意有，解得，
所以，；
选择②：设的公差为，的公比为.
则根据题意有，解得，
所以，；
（2）由（1）可知，
所以
.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法.
5．已知数列{an}中，已知a1＝1，a2＝a，an＋1＝k(an＋an＋2)对任意n∈N*都成立，数列{an}的前n项和为Sn.
（1）若{an}是等差数列，求k的值；
（2）若a＝1，k＝－，求Sn.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据等差中项可得，从而求出.
（2）根据题意可得，讨论n是偶数或n是奇数，利用分组求和即可求解.
【详解】
（1）若是等差数列，则对任意，，
即，
所以，
故
（2）当时，，即.
所以，
故，
所以，当n是偶数时，
，
当n是奇数时，，
综上，.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了分组求和，解题的关键是求出，考查了计算求解能力.
6．在数列中，，，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1），，变形为，，进而证明结论；
（2）由（1）可得：，再利用分组求和即可得出.
【详解】
（1）证明：，，
.
又因为，
数列是首项为1，公比为5的等比数列，
（2）由（1）可得：，
，
的前项和
【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
7．已知正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的公比，进一步求出数列的通项公式.
（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和.
【详解】
（1）正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，
设公比为，则，整理得：，
由于，即，即，因为，所以解得，
所以.
（2）由于，
所以
.
【点睛】
关键点点睛：第二问分组后利用等差、等比数列的前项和公式求和是解题关键.
8．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
已知是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，________，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用，，成等比数列，可得，
若选①：由得：，即可解出和的值，即可求出的通项公式；
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一、单选题
1．已知数列满足，，，且是等比数列，则（）
A．376B．382C．749D．766
【答案】C
【分析】
利用累加法求出通项，然后利用等比数列的求和公式，求解即可
【详解】
由已知得，，，而是等比数列，故，
，
，化简得，
故选：C
【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题
2．若在边长为的正三角形的边上有（，）等分点，沿向量的方向依次为，记，若给出四个数值：①；②；③；④；则的值可能的共有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】
由题意，存在实数，使得，则，计算数量积，得到，推出，结合题中条件，由赋值法，分别判断，即可得出结果.
【详解】
由题意，存在实数，使得，则，
所以
，
所以
，
令，解得；
令，解得；
令，解得；
令，解得；
所以的值不可能取所给的四个数值.
故选：A.
【点睛】
思路点睛：
向量数量积的问题，在求解时，可根据向量向量积的运算法则，由转化法求出数量积；也可利用建系的方法，建立平面直角坐标系，得出所需向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.
3．若数列的通项公式是，则（）
A．45B．65C．69D．
【答案】B
【分析】
由题意可得，从而可得，进而可得答案
【详解】
因为，
所以，
则，
故选：B．
【点睛】
此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题
二、解答题
4．设为等差数列，是正项等比数列，且，.在①，②，这两个条件中任选一个，回答下列问题：
（1）写出你选择的条件并求数列和的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若，求数列的前项和.
【答案】（1）条件选择见解析，，；（2）.
【分析】
（1）设的公差为，的公比为，根据所选的条件结合已知条件得出和的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列和等比数列的通项公式可求得数列和的通项公式；
（2）求得，利用分组求和法可求得.
【详解】
（1）选择①：设的公差为，的公比为.
则根据题意有，解得，
所以，；
选择②：设的公差为，的公比为.
则根据题意有，解得，
所以，；
（2）由（1）可知，
所以
.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法.
5．已知数列{an}中，已知a1＝1，a2＝a，an＋1＝k(an＋an＋2)对任意n∈N*都成立，数列{an}的前n项和为Sn.
（1）若{an}是等差数列，求k的值；
（2）若a＝1，k＝－，求Sn.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据等差中项可得，从而求出.
（2）根据题意可得，讨论n是偶数或n是奇数，利用分组求和即可求解.
【详解】
（1）若是等差数列，则对任意，，
即，
所以，
故
（2）当时，，即.
所以，
故，
所以，当n是偶数时，
，
当n是奇数时，，
综上，.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了分组求和，解题的关键是求出，考查了计算求解能力.
6．在数列中，，，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1），，变形为，，进而证明结论；
（2）由（1）可得：，再利用分组求和即可得出.
【详解】
（1）证明：，，
.
又因为，
数列是首项为1，公比为5的等比数列，
（2）由（1）可得：，
，
的前项和
【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
7．已知正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的公比，进一步求出数列的通项公式.
（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和.
【详解】
（1）正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，
设公比为，则，整理得：，
由于，即，即，因为，所以解得，
所以.
（2）由于，
所以
.
【点睛】
关键点点睛：第二问分组后利用等差、等比数列的前项和公式求和是解题关键.
8．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
已知是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，________，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用，，成等比数列，可得，
若选①：由得：，即可解出和的值，即可求出的通项公式；
<...
