高考数学专题13 利用导数证明或求函数的单调区间word版 人教版
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专题13利用导数证明或求函数的单调区间
一、多选题
1．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】
A．计算出的值，与比较大小并判断是否正确；B．利用导数分析的最小值，由此判断出是否正确；C．根据与的大小关系进行判断；D．构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将变形可得，再将变形可判断结果.
【详解】
A选项，，A正确；
B选项，因为，所以当时，，所以单增，所以，
因为，所以，所以，B正确；
C选项，因为，所以，C错误；
D选项，令，，
所以在单调递增，所以，所以，
则，所以，即，
所以，所以D错误.
故选：AB.
【点睛】
易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
2．设函数的导函数为，则（）
A．B．是的极值点
C．存在零点D．在单调递增
【答案】AD
【分析】
求出定义域，再求导，计算即可判断A，由导函数，即可判断选项B、D，由，即可判断选项C，从而可得结论．
【详解】
由题可知的定义域为，
对于A，，则，故A正确；
对于B、D，，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；
对于C，，故函数不存在零点，故C错误．
故选：AD．
3．已知函数，，则下列结论正确的有（）
A．在区间上单调递减
B．若，则
C．在区间上的值域为
D．若函数，且，在上单调递减
【答案】ACD
【分析】
先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，
对于选项A：当时，可得，可得在区间上单调递减；当，可得，可得在区间上单调递减，最后作出判断；
对于选项B：由在区间上单调递减可得，可得，进而作出判断；
对于选项C：由三角函数线可知，所以，，进而作出判断；
对于选项D：，可得，然后利用导数研究函数在区间上的单调性，可得，进而可得出函数在上的单调性，最后作出判断.
【详解】
，，
当时，，由三角函数线可知，
所以，即，所以，
所以，所以在区间上单调递减，
当，，，所以，，
所以在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，故选项A正确；
当时，，
所以，即，故选项B错误；
由三角函数线可知，所以，，
所以当时，，故选项C正确；
对进行求导可得：
所以有，
所以，所以在区间上的值域为，
所以，在区间上单调递增，因为，
从而，所以函数在上单调递减，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.
4．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（）
A．曲线在处的切线方程为
B．恰有2个零点
C．既有最大值，又有最小值
D．若且，则
【答案】BD
【分析】
本题首先可根据以及判断出A错误，然后根据当时的函数单调性、当时的函数单调性、以及判断出B正确和C错误，最后根据得出，根据函数单调性即可证得，D正确.
【详解】
函数的定义域为，
当时，，；
当时，，，
A项：，，
则曲线在处的切线方程为，即，A错误；
B项：当时，，函数是减函数，
当时，，函数是减函数，
因为，，所以函数恰有2个零点，B正确；
C项：由函数的单调性易知，C错误；
D项：当、时，
因为，
所以，
因为在上为减函数，所以，，
同理可证得当、时命题也成立，D正确，
故选：BD.
【点睛】
本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于，则函数是增函数，若导函数值小于，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.
5．已知函数，则下列说法正确的是（）
A．当时，在单调递增
B．当时，在处的切线为轴
C．当时，在存在唯一极小值点，且
D．对任意，在一定存在零点
【答案】AC
【分析】
结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
对于A，当时，，，
因为时，，即，所以在上单调递增，故A正确；
对于B，当时，，，则，，即切点为，切线斜率为，故切线方程为，故B错误；
对于C，当时，，，，
当时，，，则恒成立，即在上单调递增，
又，
，因为，所以，所以存在唯一，使得成立，
所以在上单调递减，在上单调递增，即在存在唯一极小值点，
由，可得，
因为，所以，则，故C正确；
对于选项D，，，
令，得，
，，则，
令，得，则，
令，得，则，此时函数单调递减，
令，得，则，此时函数单调递增，
所以时，取得极小值，极小值为，
在的极小值中，最小，
当时，单调递减，所以函数的最小值为，
当时，即时，函数与无交点，即在不存在零点，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
二、单选题
6．已知定义域为R的函数的图象连续不断，且，，当时，，若，则实数m的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用已知条件得到，构造函数，利用已知条件得到函数为奇函数且函数在上单调递减，由...
一、多选题
1．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】
A．计算出的值，与比较大小并判断是否正确；B．利用导数分析的最小值，由此判断出是否正确；C．根据与的大小关系进行判断；D．构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将变形可得，再将变形可判断结果.
【详解】
A选项，，A正确；
B选项，因为，所以当时，，所以单增，所以，
因为，所以，所以，B正确；
C选项，因为，所以，C错误；
D选项，令，，
所以在单调递增，所以，所以，
则，所以，即，
所以，所以D错误.
故选：AB.
【点睛】
易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
2．设函数的导函数为，则（）
A．B．是的极值点
C．存在零点D．在单调递增
【答案】AD
【分析】
求出定义域，再求导，计算即可判断A，由导函数，即可判断选项B、D，由，即可判断选项C，从而可得结论．
【详解】
由题可知的定义域为，
对于A，，则，故A正确；
对于B、D，，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；
对于C，，故函数不存在零点，故C错误．
故选：AD．
3．已知函数，，则下列结论正确的有（）
A．在区间上单调递减
B．若，则
C．在区间上的值域为
D．若函数，且，在上单调递减
【答案】ACD
【分析】
先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，
对于选项A：当时，可得，可得在区间上单调递减；当，可得，可得在区间上单调递减，最后作出判断；
对于选项B：由在区间上单调递减可得，可得，进而作出判断；
对于选项C：由三角函数线可知，所以，，进而作出判断；
对于选项D：，可得，然后利用导数研究函数在区间上的单调性，可得，进而可得出函数在上的单调性，最后作出判断.
【详解】
，，
当时，，由三角函数线可知，
所以，即，所以，
所以，所以在区间上单调递减，
当，，，所以，，
所以在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，故选项A正确；
当时，，
所以，即，故选项B错误；
由三角函数线可知，所以，，
所以当时，，故选项C正确；
对进行求导可得：
所以有，
所以，所以在区间上的值域为，
所以，在区间上单调递增，因为，
从而，所以函数在上单调递减，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.
4．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（）
A．曲线在处的切线方程为
B．恰有2个零点
C．既有最大值，又有最小值
D．若且，则
【答案】BD
【分析】
本题首先可根据以及判断出A错误，然后根据当时的函数单调性、当时的函数单调性、以及判断出B正确和C错误，最后根据得出，根据函数单调性即可证得，D正确.
【详解】
函数的定义域为，
当时，，；
当时，，，
A项：，，
则曲线在处的切线方程为，即，A错误；
B项：当时，，函数是减函数，
当时，，函数是减函数，
因为，，所以函数恰有2个零点，B正确；
C项：由函数的单调性易知，C错误；
D项：当、时，
因为，
所以，
因为在上为减函数，所以，，
同理可证得当、时命题也成立，D正确，
故选：BD.
【点睛】
本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于，则函数是增函数，若导函数值小于，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.
5．已知函数，则下列说法正确的是（）
A．当时，在单调递增
B．当时，在处的切线为轴
C．当时，在存在唯一极小值点，且
D．对任意，在一定存在零点
【答案】AC
【分析】
结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
对于A，当时，，，
因为时，，即，所以在上单调递增，故A正确；
对于B，当时，，，则，，即切点为，切线斜率为，故切线方程为，故B错误；
对于C，当时，，，，
当时，，，则恒成立，即在上单调递增，
又，
，因为，所以，所以存在唯一，使得成立，
所以在上单调递减，在上单调递增，即在存在唯一极小值点，
由，可得，
因为，所以，则，故C正确；
对于选项D，，，
令，得，
，，则，
令，得，则，
令，得，则，此时函数单调递减，
令，得，则，此时函数单调递增，
所以时，取得极小值，极小值为，
在的极小值中，最小，
当时，单调递减，所以函数的最小值为，
当时，即时，函数与无交点，即在不存在零点，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
二、单选题
6．已知定义域为R的函数的图象连续不断，且，，当时，，若，则实数m的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用已知条件得到，构造函数，利用已知条件得到函数为奇函数且函数在上单调递减，由...
