高考数学专题14 分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）word版 人教版
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专题14分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）
1．设函数．
（1）当时，讨论在内的单调性；
（2）当时，证明：有且仅有两个零点．
【答案】（1）在或上单调递减，在或上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；
（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为在有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出．
【详解】
（1）当时，，
，
令，解得或，，
当时，解得或，当时，解得或，
在，或，上单调递减，在或上单调递增；
（2）的定义域为，
，
为偶函数，
，
有且仅有两个零点等价于在有且只有一个零点，
，
当时，，恒成立，
在上单调递减，
，
，
在上有且只有一个零点，
当时，令，即，
可知存在唯一，使得，
当或时，，，函数单调递增，
当时，，，函数单调递减，
由，，可得，
当，，
，
在上有且只有一个零点，
综上所述，当时，有且仅有两个零点．
【点睛】
方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
2、用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.
2．已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先求导，分为，，和四种情形进行分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；
（2）等价于，令，利用当时的结论，根据导数判断与0的关系，即可证明.
【详解】
解：的定义域为，
则，
当时，，当时，，当时，，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，令，解得或，
当时，恒成立，
函数的单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，，
当或时，，当，时，，
函数的单调递减区间为或，单调递增区间为，，
当，，
当或，时，，当时，，
函数的单调递减区间为或，，单调递增区间为．
综上所述：当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，
当时，函数的单调递减区间为或，，单调递增区间为．
（2）证明：要证，即证，
令，
则，
由（1），当时，，
可得的单调递减区间为，单调递增区间为，
即的单调递减区间为，单调递增区间为，
（1），
在上单调递增，
（1），
当时，，，
当时，，，
，
即．
【点睛】
含有参数的函数单调性讨论常见的形式：
（1）对二次项系数的符号进行讨论；
（2）导函数是否有零点进行讨论；
（3）导函数中零点的大小进行讨论；
（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.
3．已知函数.
（1）若，求在区间上的极值；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）答案见解析.
【分析】
（1）当时，求得，利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数在区间上的极值；
（2）求得，分和两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间.
【详解】
（1）当时，，所以，，列表；
单调递减
极小
单调递增
所以，在区间上的有极小值，无极大值；
（2）函数的定义域为，.
当时，，从而，故函数在上单调递减；
当时，若，则，从而；
若，则，从而.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
【点睛】
方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：
（1）求导后看函数的最高次项系数是否为，需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根；
（3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.
4．已知函数．
（1）试讨论的单调性；
（2）若，证明：．
【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）对函数进行求导得，再对分三种情况讨论，即，，三种情况；
（2）要证明，只需证明，而，因此只需证明，再利用函数的单调性，即可得证；
【详解】
解析：（1）因为，
①当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，，
当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减；
③当时，，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增．
（2）要证明，只需证明，
而，因此只需证明，
当时，，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以；
当时，，
故．
【点睛】
利用导数研究含参函数的单调区间，要注意先求导后，再解导数不等式.
5．已知函数，a为非零常数.
（1）求单调递减区间；
（2）讨论方程的根的个数.
【答案】（1）当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为；（2）当时，原方程有且仅有一个解；当时，原方程有两个解.
【分析】
（1）求导，对分类讨论，利用可解得结果；
（2）转化为函数与的图象的交...
1．设函数．
（1）当时，讨论在内的单调性；
（2）当时，证明：有且仅有两个零点．
【答案】（1）在或上单调递减，在或上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；
（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为在有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出．
【详解】
（1）当时，，
，
令，解得或，，
当时，解得或，当时，解得或，
在，或，上单调递减，在或上单调递增；
（2）的定义域为，
，
为偶函数，
，
有且仅有两个零点等价于在有且只有一个零点，
，
当时，，恒成立，
在上单调递减，
，
，
在上有且只有一个零点，
当时，令，即，
可知存在唯一，使得，
当或时，，，函数单调递增，
当时，，，函数单调递减，
由，，可得，
当，，
，
在上有且只有一个零点，
综上所述，当时，有且仅有两个零点．
【点睛】
方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
2、用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.
2．已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先求导，分为，，和四种情形进行分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；
（2）等价于，令，利用当时的结论，根据导数判断与0的关系，即可证明.
【详解】
解：的定义域为，
则，
当时，，当时，，当时，，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，令，解得或，
当时，恒成立，
函数的单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，，
当或时，，当，时，，
函数的单调递减区间为或，单调递增区间为，，
当，，
当或，时，，当时，，
函数的单调递减区间为或，，单调递增区间为．
综上所述：当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，
当时，函数的单调递减区间为或，，单调递增区间为．
（2）证明：要证，即证，
令，
则，
由（1），当时，，
可得的单调递减区间为，单调递增区间为，
即的单调递减区间为，单调递增区间为，
（1），
在上单调递增，
（1），
当时，，，
当时，，，
，
即．
【点睛】
含有参数的函数单调性讨论常见的形式：
（1）对二次项系数的符号进行讨论；
（2）导函数是否有零点进行讨论；
（3）导函数中零点的大小进行讨论；
（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.
3．已知函数.
（1）若，求在区间上的极值；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）答案见解析.
【分析】
（1）当时，求得，利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数在区间上的极值；
（2）求得，分和两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间.
【详解】
（1）当时，，所以，，列表；
单调递减
极小
单调递增
所以，在区间上的有极小值，无极大值；
（2）函数的定义域为，.
当时，，从而，故函数在上单调递减；
当时，若，则，从而；
若，则，从而.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
【点睛】
方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：
（1）求导后看函数的最高次项系数是否为，需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根；
（3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.
4．已知函数．
（1）试讨论的单调性；
（2）若，证明：．
【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）对函数进行求导得，再对分三种情况讨论，即，，三种情况；
（2）要证明，只需证明，而，因此只需证明，再利用函数的单调性，即可得证；
【详解】
解析：（1）因为，
①当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，，
当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减；
③当时，，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增．
（2）要证明，只需证明，
而，因此只需证明，
当时，，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以；
当时，，
故．
【点睛】
利用导数研究含参函数的单调区间，要注意先求导后，再解导数不等式.
5．已知函数，a为非零常数.
（1）求单调递减区间；
（2）讨论方程的根的个数.
【答案】（1）当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为；（2）当时，原方程有且仅有一个解；当时，原方程有两个解.
【分析】
（1）求导，对分类讨论，利用可解得结果；
（2）转化为函数与的图象的交...
