高考数学专题19 利用导数求函数的最值word版 人教版
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专题19利用导数求函数的最值
一、单选题
1．若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则m等于（）
A．0B．1
C．2D．
【答案】C
【分析】
利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案.
【详解】
，易知，当时，，当或时，，
所以函数y＝x3＋x2＋m在，上单调递增，在上单调递减，又当时，
，当时，，所以最大值为，解得.
故选：C
2．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（）
A．（e，4）B．（e，4]C．（e，4）D．（，4]
【答案】B
【分析】
结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.
【详解】
解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，
又，所以当时，，当时，，
则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，
图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，
可得a–4≤0
故选:B．
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.
3．已知函数，对于任意都有，则实数的最小值为（）
A．0B．2C．4D．6
【答案】C
【分析】
由题可得，只需满足即可.
【详解】
对于任意都有，即，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，
，，，
，即的最小值为4.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式化为，利用导数求最值即可.
4．设函数．当时（e为自然对数的底数），记的最大值为，则的最小值为（）
A．1B．C．eD．
【答案】C
【分析】
由，分，，三种情况分别讨论出函数在上的单调性，从而求出的最大值，再根据的解析式求的最小值.
【详解】
当，即时，在时，，则
此时，在上恒成立,
所以在上单调递增，则
当，即时，在时，，则
所以在上单调递增，则
当，即时，
若，则，，此时单调递增
，则，，此时单调递增
又时，两段在处的函数值相等，所以在上单调递增
所以
综上所述可得：
由一次函数的单调性可得当时，有最小值
故选：C
【点睛】
关键点睛：本题考查求含绝对值的函数的最值问题，解答本题的关键是打开绝对值得到，然后由时，，当时，，时，，再由单调性得出最大值，属于中档题.
5．函数在区间上的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用导数分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值.
【详解】
对于函数，.
当时，；当时，.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以，.
故选：C.
【点睛】
利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
6．已知函数(为自然对数的底数)，则以下结论正确的为（）
A．函数仅有一个零点，且在区间上单调递增；
B．函数仅有一个零点，且在上单调递减，在递增；
C．函数有二个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数；
D．函数有二个零点，且当时，取得最小值为.
【答案】D
【分析】
利用导数研究函数的单调性，然后可得最值及零点．
【详解】
是增函数，∴时，，递减，时，，递增，
显然，∴，又时，，∴在上也有一个零点，因此共有两个零点．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题用导数研究函数的单调性，研究函数的零点与最值．解题方法是求出导函数，确定导函数的零点与正负，从而得原函数的单调性与极值，得最值，利用零点存在定理确定零点的存在性．
7．函数在区间上的最小值是（）
A．B．C．11D．
【答案】A
【分析】
先对函数求导，根据导数的方法判定其在给定区间的单调性，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
由得，由得或；
又，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
因此.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：
求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调递增或递减，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要先求出函数在上的极值，再与，比较，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
8．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为，底面半径为，上部为半径为的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径的值为（）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】
根据体积公式用表示出，得出费用关于的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.
【详解】
解：由题意知，
故，
由可知.
∴建造费用，()，
则.
当时，，时，.
当时，该容器的建造费用最小.
故选：C.
【点睛】
本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.
9．下列关于函数的结论中，正确结论的个数是（）
①的解集是；
②是极大值，是极小值；
...
一、单选题
1．若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则m等于（）
A．0B．1
C．2D．
【答案】C
【分析】
利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案.
【详解】
，易知，当时，，当或时，，
所以函数y＝x3＋x2＋m在，上单调递增，在上单调递减，又当时，
，当时，，所以最大值为，解得.
故选：C
2．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（）
A．（e，4）B．（e，4]C．（e，4）D．（，4]
【答案】B
【分析】
结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.
【详解】
解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，
又，所以当时，，当时，，
则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，
图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，
可得a–4≤0
故选:B．
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.
3．已知函数，对于任意都有，则实数的最小值为（）
A．0B．2C．4D．6
【答案】C
【分析】
由题可得，只需满足即可.
【详解】
对于任意都有，即，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，
，，，
，即的最小值为4.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式化为，利用导数求最值即可.
4．设函数．当时（e为自然对数的底数），记的最大值为，则的最小值为（）
A．1B．C．eD．
【答案】C
【分析】
由，分，，三种情况分别讨论出函数在上的单调性，从而求出的最大值，再根据的解析式求的最小值.
【详解】
当，即时，在时，，则
此时，在上恒成立,
所以在上单调递增，则
当，即时，在时，，则
所以在上单调递增，则
当，即时，
若，则，，此时单调递增
，则，，此时单调递增
又时，两段在处的函数值相等，所以在上单调递增
所以
综上所述可得：
由一次函数的单调性可得当时，有最小值
故选：C
【点睛】
关键点睛：本题考查求含绝对值的函数的最值问题，解答本题的关键是打开绝对值得到，然后由时，，当时，，时，，再由单调性得出最大值，属于中档题.
5．函数在区间上的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用导数分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值.
【详解】
对于函数，.
当时，；当时，.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以，.
故选：C.
【点睛】
利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
6．已知函数(为自然对数的底数)，则以下结论正确的为（）
A．函数仅有一个零点，且在区间上单调递增；
B．函数仅有一个零点，且在上单调递减，在递增；
C．函数有二个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数；
D．函数有二个零点，且当时，取得最小值为.
【答案】D
【分析】
利用导数研究函数的单调性，然后可得最值及零点．
【详解】
是增函数，∴时，，递减，时，，递增，
显然，∴，又时，，∴在上也有一个零点，因此共有两个零点．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题用导数研究函数的单调性，研究函数的零点与最值．解题方法是求出导函数，确定导函数的零点与正负，从而得原函数的单调性与极值，得最值，利用零点存在定理确定零点的存在性．
7．函数在区间上的最小值是（）
A．B．C．11D．
【答案】A
【分析】
先对函数求导，根据导数的方法判定其在给定区间的单调性，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
由得，由得或；
又，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
因此.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：
求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调递增或递减，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要先求出函数在上的极值，再与，比较，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
8．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为，底面半径为，上部为半径为的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径的值为（）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】
根据体积公式用表示出，得出费用关于的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.
【详解】
解：由题意知，
故，
由可知.
∴建造费用，()，
则.
当时，，时，.
当时，该容器的建造费用最小.
故选：C.
【点睛】
本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.
9．下列关于函数的结论中，正确结论的个数是（）
①的解集是；
②是极大值，是极小值；
...
