高考数学专题21 利用导数解决函数的恒成立问题word版 人教版
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专题21利用导数解决函数的恒成立问题
一、单选题
1．已知，为实数，不等式恒成立，则的最小值为（）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】
不等式恒成立，设，即恒成立，求出，分析得出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而可得,即，设，求出的最小值即可得出答案.
【详解】
设，则恒成立等价于成立，
显然时不合题意．当时，，
∴当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
∴，∴，
令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
∴，∴，，此时，．
故选：B
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决范围问题，求解本题的关键有两点：一是对问题进行等价转化，即设，恒成立等价于成立初步判断出的取值范围；二是求出之后，构造函数，利用导数求函数的最小值，进而求得的最小值．属于难题.
2．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由，可得，从而，从而当时，恒成立，构造函数，可得，结合时，取得最大值1，从而的最大值为，只需即可.
【详解】
由题意，，解得，则，
则当时，，即恒成立，
令，则，
当时，，时，，
所以在上是减函数，在是增函数，，
又因为当时，取得最大值1，
所以当时，取得最大值，
所以.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为，进而求出的最大值，令其小于即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
3．已知函数（，且），对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值是（）
A．B．eC．3D．2
【答案】A
【分析】
由导数求得在上单调递增，求得函数的最值，把任意，不等式恒成立，转化为，进而求得的取值范围，得到最小值.
【详解】
由题意，显然，
因为函数，可得，
又由，可得，
故，函数在上单调递增，
故，
对任意，不等式恒成立，
即，
所以，即，解得，
即实数的最小值为.
故选：A.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4．对于正数，定义函数：.若对函数，有恒成立，则（）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】B
【分析】
利用导数求出函数的最大值，由函数的定义结合恒成立可知，由此可得出的取值范围，进而可得出合适的选项.
【详解】
对于正数，定义函数：，且恒成立，则.
函数的定义域为，且.
当时，，此时，函数单调递增；
当时，，此时，函数单调递减.
所以，，.
因此，的最小值为.
故选：B.
【点睛】
解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式恒成立，从而将问题转化为求函数的最大值.
5．已知函数，若任意，，且都有，则实数的取值范围（）
A．，B．，C．，D．
【答案】A
【分析】
求出函数的导数，通过讨论的范围，得到关于的不等式，解出即可．
【详解】
表示函数在区间上任意两个不同点连线的斜率都大于，
等价于，时恒成立，
时，，不合题意，
时，只需，
即在，恒成立，
故，
故的范围是，，
故选：A
【点睛】
表示函数在区间上任意两个不同点连线的斜率都大于，由此考虑利用导数进行求解.
6．已知函数，，若对，恒成立，则整数的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
，问题变形为在上恒成立．设，用导数求出它的最大值，对最大值估计其范围后可得的最小整数值．
【详解】
即为，，
因为，所以，即在上恒成立．
设，则，
令，则在上是增函数，，，
所以在上存在唯一零点，即，，
所以时，，递增，时，，递减，
所以，
所以，又，所以的最小整数值为2．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题方法用分离参数法变形为求函数最大值，在求函数最大值时，导函数的零点需要定性分析，估计出范围，利用零点求出函数的最大值，再得出最大值的范围，然后得出所求结论．
7．已知，若对任意正实数，都有，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数即可求解.
【详解】
根据可知，
令
由知为增函数，
所以恒成立，
分离参数得，
而当时，在时有最大值为，
故.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题由条件恒成立，转化为恒成立是解题的关键，再根据此式知函数为增函数，考查了推理分析能力，属于中档题.
二、解答题
8．已知函数.
（1）若曲线与直线相切，求的值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）利用切点和切线的斜率列方程，由此求得的值.
（2）将已知条件转化为存在，使成立，构造函数，利用导数研究的单调性和最值，结合对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）设切点坐标为，
因为，所以，
又，所以，故，所以.
（2）存在，使成立，
等价于：存在，使成立.
令，，
令，，
当时，，故在单调递增，
所以，
①当时，，故在单调递增，
所以，由已知，即.
②当时，
故存在，使得.此时.
若时，；若时，.
所以，
令，，，
一、单选题
1．已知，为实数，不等式恒成立，则的最小值为（）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】
不等式恒成立，设，即恒成立，求出，分析得出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而可得,即，设，求出的最小值即可得出答案.
【详解】
设，则恒成立等价于成立，
显然时不合题意．当时，，
∴当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
∴，∴，
令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
∴，∴，，此时，．
故选：B
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决范围问题，求解本题的关键有两点：一是对问题进行等价转化，即设，恒成立等价于成立初步判断出的取值范围；二是求出之后，构造函数，利用导数求函数的最小值，进而求得的最小值．属于难题.
2．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由，可得，从而，从而当时，恒成立，构造函数，可得，结合时，取得最大值1，从而的最大值为，只需即可.
【详解】
由题意，，解得，则，
则当时，，即恒成立，
令，则，
当时，，时，，
所以在上是减函数，在是增函数，，
又因为当时，取得最大值1，
所以当时，取得最大值，
所以.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为，进而求出的最大值，令其小于即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
3．已知函数（，且），对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值是（）
A．B．eC．3D．2
【答案】A
【分析】
由导数求得在上单调递增，求得函数的最值，把任意，不等式恒成立，转化为，进而求得的取值范围，得到最小值.
【详解】
由题意，显然，
因为函数，可得，
又由，可得，
故，函数在上单调递增，
故，
对任意，不等式恒成立，
即，
所以，即，解得，
即实数的最小值为.
故选：A.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4．对于正数，定义函数：.若对函数，有恒成立，则（）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】B
【分析】
利用导数求出函数的最大值，由函数的定义结合恒成立可知，由此可得出的取值范围，进而可得出合适的选项.
【详解】
对于正数，定义函数：，且恒成立，则.
函数的定义域为，且.
当时，，此时，函数单调递增；
当时，，此时，函数单调递减.
所以，，.
因此，的最小值为.
故选：B.
【点睛】
解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式恒成立，从而将问题转化为求函数的最大值.
5．已知函数，若任意，，且都有，则实数的取值范围（）
A．，B．，C．，D．
【答案】A
【分析】
求出函数的导数，通过讨论的范围，得到关于的不等式，解出即可．
【详解】
表示函数在区间上任意两个不同点连线的斜率都大于，
等价于，时恒成立，
时，，不合题意，
时，只需，
即在，恒成立，
故，
故的范围是，，
故选：A
【点睛】
表示函数在区间上任意两个不同点连线的斜率都大于，由此考虑利用导数进行求解.
6．已知函数，，若对，恒成立，则整数的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
，问题变形为在上恒成立．设，用导数求出它的最大值，对最大值估计其范围后可得的最小整数值．
【详解】
即为，，
因为，所以，即在上恒成立．
设，则，
令，则在上是增函数，，，
所以在上存在唯一零点，即，，
所以时，，递增，时，，递减，
所以，
所以，又，所以的最小整数值为2．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题方法用分离参数法变形为求函数最大值，在求函数最大值时，导函数的零点需要定性分析，估计出范围，利用零点求出函数的最大值，再得出最大值的范围，然后得出所求结论．
7．已知，若对任意正实数，都有，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数即可求解.
【详解】
根据可知，
令
由知为增函数，
所以恒成立，
分离参数得，
而当时，在时有最大值为，
故.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题由条件恒成立，转化为恒成立是解题的关键，再根据此式知函数为增函数，考查了推理分析能力，属于中档题.
二、解答题
8．已知函数.
（1）若曲线与直线相切，求的值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）利用切点和切线的斜率列方程，由此求得的值.
（2）将已知条件转化为存在，使成立，构造函数，利用导数研究的单调性和最值，结合对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）设切点坐标为，
因为，所以，
又，所以，故，所以.
（2）存在，使成立，
等价于：存在，使成立.
令，，
令，，
当时，，故在单调递增，
所以，
①当时，，故在单调递增，
所以，由已知，即.
②当时，
故存在，使得.此时.
若时，；若时，.
所以，
令，，，