高考数学专题22 导数解决函数零点交点和方程根的问题word版 人教版
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专题22导数解决函数零点交点和方程根的问题
一、单选题
1．已知关于的方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
参变分离后可根据直线与函数的图象有3个不同的交点可得实数的取值范围.
【详解】
问题等价于又三个不等的实数根，
令，，
当时，，当时，，
当时，，
所以在和上为增函数，在上为减函数，
又，且极小值为，的图象如图所示：
因此与的图象有三个不同的交点时，.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：
对于导数背景下的函数零点问题，我们可以针对不同的题型采取不同的策略：
（1）填空题或选择题类：可以采用参变分离的方法把参数的范围问题归结为动直线与不含参数的函数的图象的交点问题，后者可以利用导数来刻画图象；
（2）解题类：一般不可以利用参变分离的方法来处理，因为函数的图象可能有渐近线，一般地利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理来判断.
2．已知函数，则下列结论错误的是（）
A．是奇函数
B．若，则是增函数
C．当时，函数恰有三个零点
D．当时，函数恰有两个极值点
【答案】C
【分析】
对A,根据奇函数的定义判定即可.由条件可得，则，,所以在上单调递增,且,所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.则,将的值代入分别计算分析，可判断选项B，C，D
【详解】
对A,的定义域为,且
.故A正确.
由条件可得，则，
所以在上单调递增,且
所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.则
对B,当时，，所以是增函数，故B正确.
对C,当时，由上可知,，
所以是增函数,故不可能有3个零点.故C错误.
对D,当时，，由上可知在上单调递减，在上单调递增.
则，，
所以存在，使得，成立
则在上，，在上，，在上，.
所以函数在单调递增，在的单调递减，在单调递增.
所以函数恰有两个极值点，故D正确.
故选：C
【点睛】
关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得，则，所以在上单调递增,且，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.则，经过多次求导分析出单调性，属于中档题.
3．已知函数（）与（）的图象有且仅有两个公共点，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
将问题转化为的图象与有两个公共点，即有两解，再构造新函数，根据的单调性和取值分析的取值即可得到结果.
【详解】
因为函数的图象关于直线对称，
所以两个图象的公共点在上，所以的图象与有两个公共点，
即有两解，即有两解，即有两解，
令，所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
大致图象如下图所示：
所以，所以，
故选：A.
【点睛】
结论点睛：函数图象的交点个数、方程根的数目、函数的零点个数之间的关系：
已知，则有的零点个数方程根的数目函数与函数的图象的交点个数.
4．已知函数，则下列说法正确的是（）
A．存在、，函数没有零点
B．任意，存在，函数恰有个零点
C．任意，存在，函数恰有个零点
D．任意，存在，函数恰有个零点
【答案】B
【分析】
利用零点存在定理可判断A选项的正误；分析出，讨论当时，利用函数的单调性与零点存在定理可判断B选项的正误；由B选项可判断C选项的正误；令，可知当函数恰有个零点，函数必有两个极值点，利用导数求得的极大值为负数，进而可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，当时，，当时，时，
所以，对任意的、，函数必有零点，A选项错误；
对于B选项，，则，函数在上单调递增，
，，所以，存在使得.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，.
当时，对任意的，，此时函数单调递增，
由A选项可知，函数有唯一的零点，B选项正确；
对于C选项，任意，由B选项可知，当时，对任意的，，
此时函数单调递增，函数至多有个零点，C选项错误；
对于D选项，令，则函数的零点个数等价于直线与函数的图象的交点个数，
若函数有三个零点，则函数必有两个极值点、，且满足，
，由题意可得，且，
由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，当或时，，当时，.
所以，，
，
令，则，
由B选项可知，令，可得使得，则，可得.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，
函数在上单调递减，，
当时，，所以，.
所以，，
因此，当时，不存在使得函数有个零点，D选项错误.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
5．函数有且只有一个零点，则的值为（）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】
分离参数有一个交点，设，利用导数求出的单调区间，若有且只有1个零点，所以，代入函数求解即可.
【详解】
函数有且只有一个零点，
有一个交点，
设，
则，
则，所以单调递增.
而，，
所以存在使得，
即，且当时，；
当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
又因为且时，，...
一、单选题
1．已知关于的方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
参变分离后可根据直线与函数的图象有3个不同的交点可得实数的取值范围.
【详解】
问题等价于又三个不等的实数根，
令，，
当时，，当时，，
当时，，
所以在和上为增函数，在上为减函数，
又，且极小值为，的图象如图所示：
因此与的图象有三个不同的交点时，.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：
对于导数背景下的函数零点问题，我们可以针对不同的题型采取不同的策略：
（1）填空题或选择题类：可以采用参变分离的方法把参数的范围问题归结为动直线与不含参数的函数的图象的交点问题，后者可以利用导数来刻画图象；
（2）解题类：一般不可以利用参变分离的方法来处理，因为函数的图象可能有渐近线，一般地利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理来判断.
2．已知函数，则下列结论错误的是（）
A．是奇函数
B．若，则是增函数
C．当时，函数恰有三个零点
D．当时，函数恰有两个极值点
【答案】C
【分析】
对A,根据奇函数的定义判定即可.由条件可得，则，,所以在上单调递增,且,所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.则,将的值代入分别计算分析，可判断选项B，C，D
【详解】
对A,的定义域为,且
.故A正确.
由条件可得，则，
所以在上单调递增,且
所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.则
对B,当时，，所以是增函数，故B正确.
对C,当时，由上可知,，
所以是增函数,故不可能有3个零点.故C错误.
对D,当时，，由上可知在上单调递减，在上单调递增.
则，，
所以存在，使得，成立
则在上，，在上，，在上，.
所以函数在单调递增，在的单调递减，在单调递增.
所以函数恰有两个极值点，故D正确.
故选：C
【点睛】
关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得，则，所以在上单调递增,且，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.则，经过多次求导分析出单调性，属于中档题.
3．已知函数（）与（）的图象有且仅有两个公共点，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
将问题转化为的图象与有两个公共点，即有两解，再构造新函数，根据的单调性和取值分析的取值即可得到结果.
【详解】
因为函数的图象关于直线对称，
所以两个图象的公共点在上，所以的图象与有两个公共点，
即有两解，即有两解，即有两解，
令，所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
大致图象如下图所示：
所以，所以，
故选：A.
【点睛】
结论点睛：函数图象的交点个数、方程根的数目、函数的零点个数之间的关系：
已知，则有的零点个数方程根的数目函数与函数的图象的交点个数.
4．已知函数，则下列说法正确的是（）
A．存在、，函数没有零点
B．任意，存在，函数恰有个零点
C．任意，存在，函数恰有个零点
D．任意，存在，函数恰有个零点
【答案】B
【分析】
利用零点存在定理可判断A选项的正误；分析出，讨论当时，利用函数的单调性与零点存在定理可判断B选项的正误；由B选项可判断C选项的正误；令，可知当函数恰有个零点，函数必有两个极值点，利用导数求得的极大值为负数，进而可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，当时，，当时，时，
所以，对任意的、，函数必有零点，A选项错误；
对于B选项，，则，函数在上单调递增，
，，所以，存在使得.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，.
当时，对任意的，，此时函数单调递增，
由A选项可知，函数有唯一的零点，B选项正确；
对于C选项，任意，由B选项可知，当时，对任意的，，
此时函数单调递增，函数至多有个零点，C选项错误；
对于D选项，令，则函数的零点个数等价于直线与函数的图象的交点个数，
若函数有三个零点，则函数必有两个极值点、，且满足，
，由题意可得，且，
由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，当或时，，当时，.
所以，，
，
令，则，
由B选项可知，令，可得使得，则，可得.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，
函数在上单调递减，，
当时，，所以，.
所以，，
因此，当时，不存在使得函数有个零点，D选项错误.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
5．函数有且只有一个零点，则的值为（）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】
分离参数有一个交点，设，利用导数求出的单调区间，若有且只有1个零点，所以，代入函数求解即可.
【详解】
函数有且只有一个零点，
有一个交点，
设，
则，
则，所以单调递增.
而，，
所以存在使得，
即，且当时，；
当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
又因为且时，，...
