高考数学专题23 利用导数证明不等式word版 人教版
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专题23利用导数证明不等式
一、多选题
1．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】
A．计算出的值，与比较大小并判断是否正确；B．利用导数分析的最小值，由此判断出是否正确；C．根据与的大小关系进行判断；D．构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将变形可得，再将变形可判断结果.
【详解】
A选项，，A正确；
B选项，因为，所以当时，，所以单增，所以，
因为，所以，所以，B正确；
C选项，因为，所以，C错误；
D选项，令，，
所以在单调递增，所以，所以，
则，所以，即，
所以，所以D错误.
故选：AB.
【点睛】
易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
2．下列不等式正确的是（）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】ABC
【分析】
构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.
【详解】
对于A：设，则，令，解得，
当时函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以函数在时，函数取得最小值，故当时，，故A正确；
对于B：设，所以，
令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
所以在时，（1），故当时，恒成立，故B正确；
对于C：设，所以，令，解得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以当时，（1），所以当时，，故C正确；
对于D：设函数，则，所以是定义在上单调递增的奇函数，
所以时，成立，时，，故D错误．
故选：ABC
3．已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（）
A．B．
C．是R上的增函数D．，则有
【答案】AD
【分析】
由题意得，即为增函数，可得，即可判断，举出反例可判断C，根据单调性可判断D.
【详解】
由，得，即，
所以函数为增函数，故，
所以，故A正确，B不正确；
函数为增函数时，不一定为增函数，
如是增函数，但是减函数，所以C不正确；
因为函数为增函数，所以时，有，
故有成立，所以D正确.
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造函数是解题的关键，属于中档题.
二、解答题
4．已知函数，，若最小值为0.
（1）求实数的值；
（2）设，证明：.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由，得，讨论当时，无最小值.当时，，由可得答案得；
（2）由（1）可知，可得，由（1）可知，即，进而可得结论.
【详解】
（1）由已知，定义域为.
.
由，得.
当时，，在单调递增无最小值.
当时，，；，.
故，
令，.
，；，，，
所以由，得.
（2）由（1）可知，此时
等价于，
由（1）可知当时，.
故，即.
所以，
故.
【点睛】
不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
5．已知函数，.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）设，当，且，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）当时，，，由的单调性得出函数的最大值；
（2）由函数的单调性结合零点个数得出，结合分析法要证，只需证，由函数在上存在唯一零点证明，由函数在上存在唯一零点证明，从而得出.
【详解】
解1）当时，，.
当时，；当时，.
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
∴.
（2）由题可知，是函数的零点.
当时，；当时，
∴函数在上单调递增，在上单调递减
故函数要有两个零点，必有，即.
要证，只需证
只需证①
由于，，，
∴函数在上存在唯一零点
即.②
由（1）知，，所以，且当时，取等号
∴
∴函数在上存在唯一零点
即.③
由②③可知①成立，故.
【点睛】
求解本题第（2）问的关键是根据题中条件将证明转化为证明，然后利用零点存在定理即可求解.
6．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）当时，证明：；
（2）设实数，是函数的两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）构造函数，证明最小值大0即可得解；
（2）先求导可，
分，和进行讨论即可得解.
【详解】
（1）设，
∴，∴，
∵，∴，，
∴，∴在上单调递增，
又，∴时，，
在上单调递增，
又，∴时，，
故当时，，
∴．
（2）∵，
∴，
当时，易知函数只有一个零点，不符合题意．
当时，在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
又，，
不妨取且时，
，
[或者考虑：当，]，所以函数有两个零点，
∴符合题意，
当时，由得或．
（ⅰ）当，即时，在上，成立，
故在上单调递增，
所以函数至多有一个零点，不符合题意．
（ⅱ）当，即时，在和上，
，单调递增；
在上，，单调递减；
又，且，
所以函数至多有一个零点，不符合题意．
（ⅲ）当即时，
在和上，单调递增；
在上，单调递减，
以，所以函数至多有一个零点，不...
一、多选题
1．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】
A．计算出的值，与比较大小并判断是否正确；B．利用导数分析的最小值，由此判断出是否正确；C．根据与的大小关系进行判断；D．构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将变形可得，再将变形可判断结果.
【详解】
A选项，，A正确；
B选项，因为，所以当时，，所以单增，所以，
因为，所以，所以，B正确；
C选项，因为，所以，C错误；
D选项，令，，
所以在单调递增，所以，所以，
则，所以，即，
所以，所以D错误.
故选：AB.
【点睛】
易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
2．下列不等式正确的是（）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】ABC
【分析】
构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.
【详解】
对于A：设，则，令，解得，
当时函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以函数在时，函数取得最小值，故当时，，故A正确；
对于B：设，所以，
令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
所以在时，（1），故当时，恒成立，故B正确；
对于C：设，所以，令，解得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以当时，（1），所以当时，，故C正确；
对于D：设函数，则，所以是定义在上单调递增的奇函数，
所以时，成立，时，，故D错误．
故选：ABC
3．已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（）
A．B．
C．是R上的增函数D．，则有
【答案】AD
【分析】
由题意得，即为增函数，可得，即可判断，举出反例可判断C，根据单调性可判断D.
【详解】
由，得，即，
所以函数为增函数，故，
所以，故A正确，B不正确；
函数为增函数时，不一定为增函数，
如是增函数，但是减函数，所以C不正确；
因为函数为增函数，所以时，有，
故有成立，所以D正确.
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造函数是解题的关键，属于中档题.
二、解答题
4．已知函数，，若最小值为0.
（1）求实数的值；
（2）设，证明：.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由，得，讨论当时，无最小值.当时，，由可得答案得；
（2）由（1）可知，可得，由（1）可知，即，进而可得结论.
【详解】
（1）由已知，定义域为.
.
由，得.
当时，，在单调递增无最小值.
当时，，；，.
故，
令，.
，；，，，
所以由，得.
（2）由（1）可知，此时
等价于，
由（1）可知当时，.
故，即.
所以，
故.
【点睛】
不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
5．已知函数，.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）设，当，且，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）当时，，，由的单调性得出函数的最大值；
（2）由函数的单调性结合零点个数得出，结合分析法要证，只需证，由函数在上存在唯一零点证明，由函数在上存在唯一零点证明，从而得出.
【详解】
解1）当时，，.
当时，；当时，.
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
∴.
（2）由题可知，是函数的零点.
当时，；当时，
∴函数在上单调递增，在上单调递减
故函数要有两个零点，必有，即.
要证，只需证
只需证①
由于，，，
∴函数在上存在唯一零点
即.②
由（1）知，，所以，且当时，取等号
∴
∴函数在上存在唯一零点
即.③
由②③可知①成立，故.
【点睛】
求解本题第（2）问的关键是根据题中条件将证明转化为证明，然后利用零点存在定理即可求解.
6．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）当时，证明：；
（2）设实数，是函数的两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）构造函数，证明最小值大0即可得解；
（2）先求导可，
分，和进行讨论即可得解.
【详解】
（1）设，
∴，∴，
∵，∴，，
∴，∴在上单调递增，
又，∴时，，
在上单调递增，
又，∴时，，
故当时，，
∴．
（2）∵，
∴，
当时，易知函数只有一个零点，不符合题意．
当时，在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
又，，
不妨取且时，
，
[或者考虑：当，]，所以函数有两个零点，
∴符合题意，
当时，由得或．
（ⅰ）当，即时，在上，成立，
故在上单调递增，
所以函数至多有一个零点，不符合题意．
（ⅱ）当，即时，在和上，
，单调递增；
在上，，单调递减；
又，且，
所以函数至多有一个零点，不符合题意．
（ⅲ）当即时，
在和上，单调递增；
在上，单调递减，
以，所以函数至多有一个零点，不...
