高考数学专题25 参变分离法解决导数问题word版 人教版
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参变分离法解决导数问题
一、单选题
1．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【解析】
由题意，，解得，则，
则当时，，即恒成立，
令，则，
当时，，时，，
所以在上是减函数，在是增函数，，
又因为当时，取得最大值1，
所以当时，取得最大值，
所以.
故选：B.
【小结】关键点：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为，进而求出的最大值，令其小于即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
2．若函数没有极值点，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解析】
由题意可得，没有零点，或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），
即没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.
令，，
则，
令则在上单调递减且，
所以当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
故当时，取得最大值，
又时，，时，，
结合图象可知，即.
故选：C.
【小结】方法：已知函数没有极值点，求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）分离参数法：先求导然后将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（2）数形结合法：先求导然后对导函数变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．若函数在上是减函数，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解析】
∵在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，
∵，∴，
故选：A.
【小结】本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.
4．已知函数（为自然对数的底数），．若存在实数，，使得，且，则实数的最大值为（）
A．B．C．D．1
【解析】
，，
又且，，
由，即，整理得：，
令，，则，
和在上均为减函数，
在上单调递减，，
即在上恒成立，在上单调递减，
，即实数的最大值为.
故选：C.
【小结】本题考查导数在研究函数中的应用，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为函数最值的求解问题，进而利用导数求得函数最值得到结果.
5．设函数在上有两个零点，则实数a的取值范围（）
A．B．C．D．
【解析】
令，即，解得，设，
所以在有两个零点等价于y=a与在有两个交点.
因为，得，所以在(0，e)上单调递增，在上单调递减，所以.
如图所示，画出的大致图象。
结合图象可知，当时，y=a与在有两个交点，即此时在有两个零点.
故选：D.
【小结】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围的问题，常采用参变分离的方法，利用导函数研究函数的单调性和最值，运用数形结合的思想，属于较难题.
6．已知关于x的方程在上有两解，则实数k的取值范围为（）
A．B．C．D．
【解析】
由已知可得在上有两解，
令，，则问题转化为函数与在上有两个交点，
，
令，则，
因为，所以恒成立，所以在上单调递增，又，
所以当时，，则；当时，，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，实数k的取值范围为.
故选：B
【小结】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查函数与方程思想，关键是对参变量分离转化为两个函数图象的交点个数使问题得以解决，属于难题.
7．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解析】
由函数得，由题意可得恒成立，即为，
设，即，
当时，不等式显然成立；
当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值1，可得，
当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值，可得，
综上可得实数的取值范围是，
故选：A.
【小结】本题考查运用导函数研究函数的单调性，由函数的单调性求参数的范围，利用参变分离的方法解决不等式的恒成立问题，属于较难题.
8．若关于x的不等式（a+2）x≤x2+alnx在区间[，e]（e为自然对数的底数）上有实数解，则实数a的最大值是（）
A．﹣1B．C．D．
【解析】
由，得，令，，
则，则在递减，在递增，则，
即由，得，有解，
设，，
则，
令，，则，
故在递减，在递增，故，
故在递减，在递增，又，，
故，故，
即实数的最大值为.
故选：D.
【小结】本题考查了不等式有解的问题，并多次利用导数研究函数的单调性求最值，考查了学生的转化能力，逻辑思维能力，运算能力，难度较大.
9．已知函数，（，为自然对数的底数）.若存在，使得，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【解析】
当时，，则，
所以，函数在上单调递增，，
由题意可知，使得，即，
令，其中，则，，令，得，
列表如下：
单调递增
极大值
单调递减
所以，函数的最大值为，，
又，，因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【小结】本题考查利用导数研究不等式能成立问题，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.
10．已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解析】
∵对于任意的，且，都有成立，
∴不等式等价为恒成立，
令，则不等式等价为当时，恒成立，即函数在上为增函数；
，则在上恒成立；
∴；即恒成立，
...
一、单选题
1．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【解析】
由题意，，解得，则，
则当时，，即恒成立，
令，则，
当时，，时，，
所以在上是减函数，在是增函数，，
又因为当时，取得最大值1，
所以当时，取得最大值，
所以.
故选：B.
【小结】关键点：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为，进而求出的最大值，令其小于即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
2．若函数没有极值点，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解析】
由题意可得，没有零点，或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），
即没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.
令，，
则，
令则在上单调递减且，
所以当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
故当时，取得最大值，
又时，，时，，
结合图象可知，即.
故选：C.
【小结】方法：已知函数没有极值点，求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）分离参数法：先求导然后将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（2）数形结合法：先求导然后对导函数变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．若函数在上是减函数，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解析】
∵在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，
∵，∴，
故选：A.
【小结】本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.
4．已知函数（为自然对数的底数），．若存在实数，，使得，且，则实数的最大值为（）
A．B．C．D．1
【解析】
，，
又且，，
由，即，整理得：，
令，，则，
和在上均为减函数，
在上单调递减，，
即在上恒成立，在上单调递减，
，即实数的最大值为.
故选：C.
【小结】本题考查导数在研究函数中的应用，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为函数最值的求解问题，进而利用导数求得函数最值得到结果.
5．设函数在上有两个零点，则实数a的取值范围（）
A．B．C．D．
【解析】
令，即，解得，设，
所以在有两个零点等价于y=a与在有两个交点.
因为，得，所以在(0，e)上单调递增，在上单调递减，所以.
如图所示，画出的大致图象。
结合图象可知，当时，y=a与在有两个交点，即此时在有两个零点.
故选：D.
【小结】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围的问题，常采用参变分离的方法，利用导函数研究函数的单调性和最值，运用数形结合的思想，属于较难题.
6．已知关于x的方程在上有两解，则实数k的取值范围为（）
A．B．C．D．
【解析】
由已知可得在上有两解，
令，，则问题转化为函数与在上有两个交点，
，
令，则，
因为，所以恒成立，所以在上单调递增，又，
所以当时，，则；当时，，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，实数k的取值范围为.
故选：B
【小结】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查函数与方程思想，关键是对参变量分离转化为两个函数图象的交点个数使问题得以解决，属于难题.
7．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解析】
由函数得，由题意可得恒成立，即为，
设，即，
当时，不等式显然成立；
当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值1，可得，
当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值，可得，
综上可得实数的取值范围是，
故选：A.
【小结】本题考查运用导函数研究函数的单调性，由函数的单调性求参数的范围，利用参变分离的方法解决不等式的恒成立问题，属于较难题.
8．若关于x的不等式（a+2）x≤x2+alnx在区间[，e]（e为自然对数的底数）上有实数解，则实数a的最大值是（）
A．﹣1B．C．D．
【解析】
由，得，令，，
则，则在递减，在递增，则，
即由，得，有解，
设，，
则，
令，，则，
故在递减，在递增，故，
故在递减，在递增，又，，
故，故，
即实数的最大值为.
故选：D.
【小结】本题考查了不等式有解的问题，并多次利用导数研究函数的单调性求最值，考查了学生的转化能力，逻辑思维能力，运算能力，难度较大.
9．已知函数，（，为自然对数的底数）.若存在，使得，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【解析】
当时，，则，
所以，函数在上单调递增，，
由题意可知，使得，即，
令，其中，则，，令，得，
列表如下：
单调递增
极大值
单调递减
所以，函数的最大值为，，
又，，因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【小结】本题考查利用导数研究不等式能成立问题，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.
10．已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解析】
∵对于任意的，且，都有成立，
∴不等式等价为恒成立，
令，则不等式等价为当时，恒成立，即函数在上为增函数；
，则在上恒成立；
∴；即恒成立，
...
