高考数学专题27 向量法求空间角word版 人教版
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专题27向量法求空间角
一、单选题
1．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出，，，的坐标，然后可得和的坐标，然后可算出答案.
【详解】
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，，，
则，．
设异面直线与所成的角为，则，所以，
故选：C
2．在长方体中，，，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，再利用向量法求异面直线成角即可。
【详解】
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，，
，，
则.
故选：D
【点睛】
本题主要考查向量法求异面直线成角，属于简单题。
3．如图在棱长为2的正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，利用向量求出异面直线和所成角的余弦值．
【详解】
建立空间直角坐标系，如图所示；
，0，，，0，，，0，，，2，，，0，；
，0，，，2，，，
，；
所以，；
所以异面直线和所成角的余弦值为．
故选：A
【点睛】
方法点睛：求异面直线所成的角常用的两种方法：
方法一：（几何法）找（观察）作（平移法）证（定义）指求（解三角形）；
方法二：（向量法）利用向量里异面直线所成的角的公式求解.
4．如图，已知点、、G、分别是正方体中棱、、、的中点，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角、二面角、异面直角所成角，即可比较；
【详解】
解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，，，，
显然面的法向量为，设面的法向量为，则，即，令则、，所以
所以，，所以，
因为，即，所以
故选：D
5．如图，在正四面体中，，记平面与平面?平面?平面，所成的锐二面角分别为??，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
过A作平面，取的中点M，连接，交于点O，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用坐标向量法先求，再根据余弦函数单调性比较大小即可.
【详解】
解：(空间向量法)
因为，所以E?F分别为?的中点，G为上靠近A的三等分点，取的中点M，连接，
过A作平面，交于点O，在平面中过O作，交于N，设正四面体的棱长为2，则，，，
以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，则，
即，不妨令，则，
同理可计算出平面?平面?平面的一个法向量分别为，，，
则可得，，，
所以，
又在上递减，所以，
故选：A.
6．如图，在长方体中，，，是的中点，则直线与所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
以为原点，为轴为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【详解】
在长方体中，，，为的中点，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，2，，，0，，，2，，
，，0，，，0，，
，，，，0，，
设异面直线与所成角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
【点睛】
求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
7．已知两条异面直线的方向向量分别是，1，，，2，，则这两条异面直线所成的角满足（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由已知两条异面直线的方向向量的坐标，然后利用数量积求夹角公式，即可求得答案.
【详解】
两条异面直线的方向向量分别是，1，，，2，，
，
，，
又两条异面直线所成的角为，
，.
故选：.
二、解答题
8．如图，四边形中，是等腰直角三角形，，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向上折叠到的位置，使点在平面内的射影在上，再将向下折叠到的位置，使平面平面，形成几何体.
（1）点在上，若平面，求点的位置；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）为的中点；（2）.
【分析】
（1）设点在平面内的射影为，连接，，取的中点，易得平面.取的中点，连接，由平面平面，得到平面，又平面，则，则平面，然后由面面平行的判定定理证明.
（2）连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，由求解.
【详解】
（1）如图，
设点在平面内的射影为，连接，，
∵，
∴，
∴在中，为的中点.
取的中点，连接，，
则，又平面，平面，
∴平面.
取的中点，连接，
则易知，又平面平面，平面平面，
∴平面，
又平面，
∴，又平面，平面，
∴平面.
又，
∴平面平面.
又平面，
∴平面，此时为的中点.
（2）连接，由（1）可知，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
从而，，.
设平面的一个法向量为，...
一、单选题
1．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出，，，的坐标，然后可得和的坐标，然后可算出答案.
【详解】
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，，，
则，．
设异面直线与所成的角为，则，所以，
故选：C
2．在长方体中，，，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，再利用向量法求异面直线成角即可。
【详解】
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，，
，，
则.
故选：D
【点睛】
本题主要考查向量法求异面直线成角，属于简单题。
3．如图在棱长为2的正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，利用向量求出异面直线和所成角的余弦值．
【详解】
建立空间直角坐标系，如图所示；
，0，，，0，，，0，，，2，，，0，；
，0，，，2，，，
，；
所以，；
所以异面直线和所成角的余弦值为．
故选：A
【点睛】
方法点睛：求异面直线所成的角常用的两种方法：
方法一：（几何法）找（观察）作（平移法）证（定义）指求（解三角形）；
方法二：（向量法）利用向量里异面直线所成的角的公式求解.
4．如图，已知点、、G、分别是正方体中棱、、、的中点，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角、二面角、异面直角所成角，即可比较；
【详解】
解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，，，，
显然面的法向量为，设面的法向量为，则，即，令则、，所以
所以，，所以，
因为，即，所以
故选：D
5．如图，在正四面体中，，记平面与平面?平面?平面，所成的锐二面角分别为??，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
过A作平面，取的中点M，连接，交于点O，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用坐标向量法先求，再根据余弦函数单调性比较大小即可.
【详解】
解：(空间向量法)
因为，所以E?F分别为?的中点，G为上靠近A的三等分点，取的中点M，连接，
过A作平面，交于点O，在平面中过O作，交于N，设正四面体的棱长为2，则，，，
以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，则，
即，不妨令，则，
同理可计算出平面?平面?平面的一个法向量分别为，，，
则可得，，，
所以，
又在上递减，所以，
故选：A.
6．如图，在长方体中，，，是的中点，则直线与所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
以为原点，为轴为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【详解】
在长方体中，，，为的中点，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，2，，，0，，，2，，
，，0，，，0，，
，，，，0，，
设异面直线与所成角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
【点睛】
求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
7．已知两条异面直线的方向向量分别是，1，，，2，，则这两条异面直线所成的角满足（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由已知两条异面直线的方向向量的坐标，然后利用数量积求夹角公式，即可求得答案.
【详解】
两条异面直线的方向向量分别是，1，，，2，，
，
，，
又两条异面直线所成的角为，
，.
故选：.
二、解答题
8．如图，四边形中，是等腰直角三角形，，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向上折叠到的位置，使点在平面内的射影在上，再将向下折叠到的位置，使平面平面，形成几何体.
（1）点在上，若平面，求点的位置；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）为的中点；（2）.
【分析】
（1）设点在平面内的射影为，连接，，取的中点，易得平面.取的中点，连接，由平面平面，得到平面，又平面，则，则平面，然后由面面平行的判定定理证明.
（2）连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，由求解.
【详解】
（1）如图，
设点在平面内的射影为，连接，，
∵，
∴，
∴在中，为的中点.
取的中点，连接，，
则，又平面，平面，
∴平面.
取的中点，连接，
则易知，又平面平面，平面平面，
∴平面，
又平面，
∴，又平面，平面，
∴平面.
又，
∴平面平面.
又平面，
∴平面，此时为的中点.
（2）连接，由（1）可知，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
从而，，.
设平面的一个法向量为，...
