高考数学专题28 体积法求点面距离word版 人教版
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专题28体积法求点面距离
一、多选题
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）
A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为
D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
【答案】BCD
【分析】
利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证D1D、AF是否垂直及求直线A1G与EF所成角的余弦值即可，利用等体积法可求G到平面AEF的距离与点C到平面AEF的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断A1G、平面AEF是否平行.
【详解】
A选项，由，即与并不垂直，所以D1D⊥AF错误.
B选项，如下图，延长FE、GB交于G’连接AG’、GF，有GF//BE又E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，所以，而，即；又因为面面=，且面，面，所以A1G∥平面AEF，故正确.
C选项，取中点，连接，由题意知与平行且相等，所以异面直线A1G与EF所成角的平面角为，若正方体棱长为2，则有，即在中有，故正确.
D选项，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为、，则由且，知，故正确.
故选：BCD
【点睛】
思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的判定、线面垂直的性质证明.
1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为.
2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行.
3、由、即可求G、C到平面AEF的距离比.
2．在正方体中，，、分别为、中点，是上的动点，则下列说法正确的有（）
A．
B．三棱锥的体积与点位置有关系
C．平面截正方体的截面面积为
D．点到平面的距离为
【答案】AC
【分析】
A选项，取中点为，根连接，，记与交点为，根据线面垂直的判定定理，可得平面，进而可得；
B选项，证明平面，即可判定B错；
C选项，补全截面，得到平面截正方体所得的截面为等腰梯形，进而可根据题中条件，求出截面面积；
D选项，根据等体积法，由求出点到面积的距离，即可判定；
【详解】
A选项，取中点为，根连接，，记与交点为，
在正方体中，，，
因为、分别为、中点，所以，，
因此，所以，，
因此，因此，即；
又在正方体中，平面，所以平面，
因平面，所以，
又，平面，平面，
所以平面，因为平面，所以；故A正确；
B选项，因为在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，因此，又平面，平面，所以平面，
因此棱上的所有点到平面的距离都相等，
又是棱上的动点，所以三棱锥的体积始终为定值；故B错；
C选项，取的中点为，连接，，则，且，
则；又正方体中，，所以，，
因此，
所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
因此该等腰梯形的高为，
所以该截面的面积为；故C正确；
D选项，设点到平面的距离为，
因为平面，所以点到平面的距离为，
即点到平面的距离为，
所以，
在中，，，，
所以，因此，
所以.
又，所以，
即点到平面的距离为，故D错；
故选：AC.
【点睛】
方法点睛：
求空间中点到面积的距离的常用方法：
（1）等体积法：先设所求点到面的距离，再通过题中条件，求出该几何体的体积，利用同一几何体的体积相等，列出方程，即可求出结果；
（2）向量法：利用空间向量的方法，先求出所求点与平面内任意一点连线的方向向量，以及平面的法向量，根据向量法求点到面距离的公式，即可求出结果.
3．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中正确的是（）
A．若为的外心，则
B．若为等边三角形，则
C．当时，与平面所成角的范围为
D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】
由线面垂直的性质，结合勾股定理可判断A正确；反证法由线面垂直的判断和性质可判断B错误；由线面角的定义和转化为三棱锥的体积，求得C到平面PAB的距离的范围，可判断C正确；由面面平行的性质定理可得线面平行，可得D正确.
【详解】
依题意，画图如下：
若为的外心，则，平面，可得，，故，A正确；
若为等边三角形，，又，BC与PB相交于平面内，
可得平面，即，由，，可得，故，矛盾，B错误;
若，设与平面所成角为，由A正确，知，设到平面的距离为
由可得
即有，当且仅当取等号.
可得的最大值为，，即的范围为，C正确；
取中点，的中点，连接
由中位线定理可得，，，则平面平面，
由平面，可得在线段上，即轨迹，可得D正确；
故选：ACD
【点睛】
本题考查了立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于中档题.
处理立体几何中真假命题判定的问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.
二、单选题
4．如图，在正方体中，棱长为1，分别为与的中点，到平面的距离为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设点到平面的距离为，利用建立方程可求解.
【详解】
设点到平面的距离为．
∵正方体棱长为1，
∴，
∴
又，
∴，解得
即点到平面的距离为．
故选：B．
【点睛】
方法点睛：在空间中求点到面的距离时可利用空间向量进行求解，即将距离问题转化为向量的运算问题处理．另外也可利用等积法求解，解题时可将所求的距离看作是一个三棱锥的高，求出其体积后；将此三棱锥的底面和对应的高改换，再次求出其体积．然后利用同一个三棱锥的体积相等建立关于所求高为未知数的等式，解方程求出未知数即可得到所求的高．
5．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列四个结论错误的选项是（）
一、多选题
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）
A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为
D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
【答案】BCD
【分析】
利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证D1D、AF是否垂直及求直线A1G与EF所成角的余弦值即可，利用等体积法可求G到平面AEF的距离与点C到平面AEF的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断A1G、平面AEF是否平行.
【详解】
A选项，由，即与并不垂直，所以D1D⊥AF错误.
B选项，如下图，延长FE、GB交于G’连接AG’、GF，有GF//BE又E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，所以，而，即；又因为面面=，且面，面，所以A1G∥平面AEF，故正确.
C选项，取中点，连接，由题意知与平行且相等，所以异面直线A1G与EF所成角的平面角为，若正方体棱长为2，则有，即在中有，故正确.
D选项，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为、，则由且，知，故正确.
故选：BCD
【点睛】
思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的判定、线面垂直的性质证明.
1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为.
2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行.
3、由、即可求G、C到平面AEF的距离比.
2．在正方体中，，、分别为、中点，是上的动点，则下列说法正确的有（）
A．
B．三棱锥的体积与点位置有关系
C．平面截正方体的截面面积为
D．点到平面的距离为
【答案】AC
【分析】
A选项，取中点为，根连接，，记与交点为，根据线面垂直的判定定理，可得平面，进而可得；
B选项，证明平面，即可判定B错；
C选项，补全截面，得到平面截正方体所得的截面为等腰梯形，进而可根据题中条件，求出截面面积；
D选项，根据等体积法，由求出点到面积的距离，即可判定；
【详解】
A选项，取中点为，根连接，，记与交点为，
在正方体中，，，
因为、分别为、中点，所以，，
因此，所以，，
因此，因此，即；
又在正方体中，平面，所以平面，
因平面，所以，
又，平面，平面，
所以平面，因为平面，所以；故A正确；
B选项，因为在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，因此，又平面，平面，所以平面，
因此棱上的所有点到平面的距离都相等，
又是棱上的动点，所以三棱锥的体积始终为定值；故B错；
C选项，取的中点为，连接，，则，且，
则；又正方体中，，所以，，
因此，
所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
因此该等腰梯形的高为，
所以该截面的面积为；故C正确；
D选项，设点到平面的距离为，
因为平面，所以点到平面的距离为，
即点到平面的距离为，
所以，
在中，，，，
所以，因此，
所以.
又，所以，
即点到平面的距离为，故D错；
故选：AC.
【点睛】
方法点睛：
求空间中点到面积的距离的常用方法：
（1）等体积法：先设所求点到面的距离，再通过题中条件，求出该几何体的体积，利用同一几何体的体积相等，列出方程，即可求出结果；
（2）向量法：利用空间向量的方法，先求出所求点与平面内任意一点连线的方向向量，以及平面的法向量，根据向量法求点到面距离的公式，即可求出结果.
3．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中正确的是（）
A．若为的外心，则
B．若为等边三角形，则
C．当时，与平面所成角的范围为
D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】
由线面垂直的性质，结合勾股定理可判断A正确；反证法由线面垂直的判断和性质可判断B错误；由线面角的定义和转化为三棱锥的体积，求得C到平面PAB的距离的范围，可判断C正确；由面面平行的性质定理可得线面平行，可得D正确.
【详解】
依题意，画图如下：
若为的外心，则，平面，可得，，故，A正确；
若为等边三角形，，又，BC与PB相交于平面内，
可得平面，即，由，，可得，故，矛盾，B错误;
若，设与平面所成角为，由A正确，知，设到平面的距离为
由可得
即有，当且仅当取等号.
可得的最大值为，，即的范围为，C正确；
取中点，的中点，连接
由中位线定理可得，，，则平面平面，
由平面，可得在线段上，即轨迹，可得D正确；
故选：ACD
【点睛】
本题考查了立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于中档题.
处理立体几何中真假命题判定的问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.
二、单选题
4．如图，在正方体中，棱长为1，分别为与的中点，到平面的距离为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设点到平面的距离为，利用建立方程可求解.
【详解】
设点到平面的距离为．
∵正方体棱长为1，
∴，
∴
又，
∴，解得
即点到平面的距离为．
故选：B．
【点睛】
方法点睛：在空间中求点到面的距离时可利用空间向量进行求解，即将距离问题转化为向量的运算问题处理．另外也可利用等积法求解，解题时可将所求的距离看作是一个三棱锥的高，求出其体积后；将此三棱锥的底面和对应的高改换，再次求出其体积．然后利用同一个三棱锥的体积相等建立关于所求高为未知数的等式，解方程求出未知数即可得到所求的高．
5．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列四个结论错误的选项是（）