高考数学专题29 定义法或几何法求空间角word版 人教版
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专题29定义法或几何法求空间角
一、单选题
1．在长方形ABCD中，AB=2AD，过AD，BC分别作异于平面ABCD的平面，，若，则l与BD所成角的正切值是（）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】
将异面直线平移到同一平面ABCD中即有l与BD所成角为，即可求其正切值.
【详解】
由及线面平行的判定定理，得，
再由线面平行的性质定理，得．
所以与所成角是，从而．
故选：C．
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条到同一平面内；
（2）认定：确定异面直线所成的平面角；
（3）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当角为钝角时，应取补角作为两条异面直线所成的角．
2．在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.
【详解】
在正方体中，，所以异面直线与所成角为，
如图设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，
则.
故选:C.
【点睛】
求异面直线所成角主要有以下两种方法：
几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.
向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
3．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据三棱柱的体积公式，求得，结合线面角的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，底面是边长为的正三角形，可得，
设点是的中心，所以，解得，
又由，
在直角中，可得，
又，所以.
故选：B.
4．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ=3，QR=5，PR=7，那么异面直线AC和BD所成的角是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由异面直线所成角的定义确定异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算．
【详解】
∵AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，∴，
∴异面直线AC和BD所成的角是（或其补角），
中，，
∴异面直线AC和BD所成的角为．
故选：B．
5．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，、分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
取的中点，连接、，设，证明出四边形为平行四边形，可知异面直线与所成的角为或其补角，设，计算出三边边长，利用余弦定理计算出，即可得解.
【详解】
取的中点，连接、，设，设，
、分别为、的中点，则且，
在正三棱柱中，且，
为的中点，所以，且，
则四边形为平行四边形，所以，，
所以，异面直线与所成的角为或其补角，
，，
，则，，，
由余弦定理可得.
因此，与所成角的余弦值为.
故选：D.
【点睛】
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
6．如图在四面体中，平面，，那么直线和所成角的余弦值（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设，分别取的中点，连接，则，所以（或其补角）就是直线和所成的角，根据三角形的余弦定理可求得选项.
【详解】
设，分别取的中点，连接，
则，所以（或其补角）就是直线和所成的角，
又平面，平面，所以，所以，
又，，所以在中，，
所以直线和所成角的余弦值为.
【点睛】
本题考查求异面直角所成的角，平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
7．如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，，那么二面角的大小为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，则即为二面角的平面角，设，通过解三角形即可求出答案．
【详解】
解：过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，
则即为二面角的平面角，如下图所示：
设，∵，
∴，，
又∵，∴为等边三角形，则，
∴，
∴，
故选：D．
8．如图，是正方体，，则与所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
通过平移直线求得异面直线所成的角，再由余弦定理即可得解.
【详解】
过点A在平面内作，再过点在平面内作，如图，
则或其补角即为与所成的角，
因为是正方体，不妨设，
则，，
所以在中，.
故选：A.
9．在长方体中，，，、分别为上底面的边、的中点，过、的平面...
一、单选题
1．在长方形ABCD中，AB=2AD，过AD，BC分别作异于平面ABCD的平面，，若，则l与BD所成角的正切值是（）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】
将异面直线平移到同一平面ABCD中即有l与BD所成角为，即可求其正切值.
【详解】
由及线面平行的判定定理，得，
再由线面平行的性质定理，得．
所以与所成角是，从而．
故选：C．
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条到同一平面内；
（2）认定：确定异面直线所成的平面角；
（3）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当角为钝角时，应取补角作为两条异面直线所成的角．
2．在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.
【详解】
在正方体中，，所以异面直线与所成角为，
如图设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，
则.
故选:C.
【点睛】
求异面直线所成角主要有以下两种方法：
几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.
向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
3．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据三棱柱的体积公式，求得，结合线面角的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，底面是边长为的正三角形，可得，
设点是的中心，所以，解得，
又由，
在直角中，可得，
又，所以.
故选：B.
4．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ=3，QR=5，PR=7，那么异面直线AC和BD所成的角是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由异面直线所成角的定义确定异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算．
【详解】
∵AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，∴，
∴异面直线AC和BD所成的角是（或其补角），
中，，
∴异面直线AC和BD所成的角为．
故选：B．
5．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，、分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
取的中点，连接、，设，证明出四边形为平行四边形，可知异面直线与所成的角为或其补角，设，计算出三边边长，利用余弦定理计算出，即可得解.
【详解】
取的中点，连接、，设，设，
、分别为、的中点，则且，
在正三棱柱中，且，
为的中点，所以，且，
则四边形为平行四边形，所以，，
所以，异面直线与所成的角为或其补角，
，，
，则，，，
由余弦定理可得.
因此，与所成角的余弦值为.
故选：D.
【点睛】
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
6．如图在四面体中，平面，，那么直线和所成角的余弦值（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设，分别取的中点，连接，则，所以（或其补角）就是直线和所成的角，根据三角形的余弦定理可求得选项.
【详解】
设，分别取的中点，连接，
则，所以（或其补角）就是直线和所成的角，
又平面，平面，所以，所以，
又，，所以在中，，
所以直线和所成角的余弦值为.
【点睛】
本题考查求异面直角所成的角，平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
7．如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，，那么二面角的大小为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，则即为二面角的平面角，设，通过解三角形即可求出答案．
【详解】
解：过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，
则即为二面角的平面角，如下图所示：
设，∵，
∴，，
又∵，∴为等边三角形，则，
∴，
∴，
故选：D．
8．如图，是正方体，，则与所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
通过平移直线求得异面直线所成的角，再由余弦定理即可得解.
【详解】
过点A在平面内作，再过点在平面内作，如图，
则或其补角即为与所成的角，
因为是正方体，不妨设，
则，，
所以在中，.
故选：A.
9．在长方体中，，，、分别为上底面的边、的中点，过、的平面...
