高考数学专题31 利用均值和方差的性质求解新的均值和方差word版 人教版
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专题31利用均值和方差的性质求解新的均值和方差
一、单选题
1．设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和，若(为非零常数，)，则，，，…，，的均值和标准差为（）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】
设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，由已知得新样本的均值为，方差为，标准差为，代入可得选项.
【详解】
设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，则新样本的均值为，方差为，标准差为，所以，，所以标准差为，所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查均值、方差、标准差的性质，属于中档题.
2．某班统计某次数学测试的平均数与方差，计算完毕才发现有位同学的试卷未登分，只好重算一次.已知第一次计算所得的平均数和方差分别为，，重算时的平均数和方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
运用平均数和方差的运算方法分别计算出第一次和第二次的结果，然后进行比较，得到结果.
【详解】
设这个班有n个同学，除被忘记登分的同学外的分数分别是，
被忘记登分的同学的分数为，
则
所以，
，
方差，
①
因为②
将①代入到②得：
故
故选：A
【点睛】
本题考查了平均数和方差的知识，只要运用其计算方法即可得到结果，本题较为简单.
3．2020年7月，我国湖北?江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（）
A．6.1毫米B．32.6毫米C．61毫米D．610毫米
【答案】C
【分析】
利用标准差公式即可求解.
【详解】
设这7天降雨量分别为，，，，，，
则
因为1厘米=10毫米，
这7天降雨量分别为10，10，10，10，10，10，10，
平均值为=265，
所以标准差变为.
故选：C
【点睛】
本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题.
4．设随机变量，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用正态分布的方差可得的值，然后利用方差的性质可求得的值.
【详解】
，，由方差的性质可得.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用方差的性质计算方差，同时也考查了正态分布方差的应用，考查计算能力，属于基础题.
5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.
【详解】
由题意，可得，
设收集的48个准确数据分别记为，
则
，
，所以．
故选:A．
【点睛】
本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．
6．已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为（）
A．19和2B．19和3C．19和4D．19和8
【答案】C
【分析】
根据平均数和标准差的性质可得选项.
【详解】
解：∵，，…，的平均数为10，标准差为2，
∴，，…，的平均数为：，标准差为：．
故选：C．
【点睛】
本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.
7．已知样本，，…，的平均数为2，方差为5，则，，…，的平均数和方差分别为（）
A．4和10B．5和11C．5和21D．5和20
【答案】D
【分析】
利用平均数和方程的性质可算出答案.
【详解】
因为样本，，…，的平均数为2，方差为5，
所以，，…，的平均数为，方差为
故选：D
【点睛】
本题考查的是平均数和方程的性质，较简单.
8．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（）.
A．60，24B．80，120C．80，24D．60，120
【答案】D
【分析】
根据二项分布的期望和方差的计算公式进行计算，由此判断出正确选项.
【详解】
设该同学次罚篮，命中次数为，则，
所以，，
所以该同学得分的期望为，
方差为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查二项分布的期望和方差的计算，属于基础题.
9．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于( )
X
0
2
4
P
0.3
0.2
0.5
A．16B．11
C．2.2D．2.3
【答案】A
【解析】
由表格可求，故，故选A．
10．已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为，方差记为，则（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】
根据数学期望以及方差的公式求解即可.
【详解】
设原来7个数分别为
由，则
由
则
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查了数学期望和方差性质的应用，属于中档题.
11．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差为（）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【分析】
由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．
【详解】
因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数...
一、单选题
1．设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和，若(为非零常数，)，则，，，…，，的均值和标准差为（）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】
设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，由已知得新样本的均值为，方差为，标准差为，代入可得选项.
【详解】
设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，则新样本的均值为，方差为，标准差为，所以，，所以标准差为，所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查均值、方差、标准差的性质，属于中档题.
2．某班统计某次数学测试的平均数与方差，计算完毕才发现有位同学的试卷未登分，只好重算一次.已知第一次计算所得的平均数和方差分别为，，重算时的平均数和方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
运用平均数和方差的运算方法分别计算出第一次和第二次的结果，然后进行比较，得到结果.
【详解】
设这个班有n个同学，除被忘记登分的同学外的分数分别是，
被忘记登分的同学的分数为，
则
所以，
，
方差，
①
因为②
将①代入到②得：
故
故选：A
【点睛】
本题考查了平均数和方差的知识，只要运用其计算方法即可得到结果，本题较为简单.
3．2020年7月，我国湖北?江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（）
A．6.1毫米B．32.6毫米C．61毫米D．610毫米
【答案】C
【分析】
利用标准差公式即可求解.
【详解】
设这7天降雨量分别为，，，，，，
则
因为1厘米=10毫米，
这7天降雨量分别为10，10，10，10，10，10，10，
平均值为=265，
所以标准差变为.
故选：C
【点睛】
本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题.
4．设随机变量，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用正态分布的方差可得的值，然后利用方差的性质可求得的值.
【详解】
，，由方差的性质可得.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用方差的性质计算方差，同时也考查了正态分布方差的应用，考查计算能力，属于基础题.
5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.
【详解】
由题意，可得，
设收集的48个准确数据分别记为，
则
，
，所以．
故选:A．
【点睛】
本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．
6．已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为（）
A．19和2B．19和3C．19和4D．19和8
【答案】C
【分析】
根据平均数和标准差的性质可得选项.
【详解】
解：∵，，…，的平均数为10，标准差为2，
∴，，…，的平均数为：，标准差为：．
故选：C．
【点睛】
本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.
7．已知样本，，…，的平均数为2，方差为5，则，，…，的平均数和方差分别为（）
A．4和10B．5和11C．5和21D．5和20
【答案】D
【分析】
利用平均数和方程的性质可算出答案.
【详解】
因为样本，，…，的平均数为2，方差为5，
所以，，…，的平均数为，方差为
故选：D
【点睛】
本题考查的是平均数和方程的性质，较简单.
8．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（）.
A．60，24B．80，120C．80，24D．60，120
【答案】D
【分析】
根据二项分布的期望和方差的计算公式进行计算，由此判断出正确选项.
【详解】
设该同学次罚篮，命中次数为，则，
所以，，
所以该同学得分的期望为，
方差为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查二项分布的期望和方差的计算，属于基础题.
9．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于( )
X
0
2
4
P
0.3
0.2
0.5
A．16B．11
C．2.2D．2.3
【答案】A
【解析】
由表格可求，故，故选A．
10．已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为，方差记为，则（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】
根据数学期望以及方差的公式求解即可.
【详解】
设原来7个数分别为
由，则
由
则
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查了数学期望和方差性质的应用，属于中档题.
11．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差为（）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【分析】
由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．
【详解】
因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数...
